Autor |
Beitrag |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3426 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 14:06: |
|
Hi allerseits. Die Nummer ZF 196* ist eine Spezialausgabe: es sollen die Eulerschen Winkel vorgestellt und die entsprechende Transformationsmatrix hergeleitet werden. In den Bezeichnungen gehe ich wiederum neue Wege. Ich wähle aus nostalgischen Gründen die Bezeichnungen, wie sie während meines Studiums an der ETH in den Vorlesungen von Eduard Stiefel benützt wurden. Das „alte“ orthonormierte Koordinatensystem x,y,z trägt die Basiseinheitsvektoren i , j , k (diese Reihenfolge). Das „neue“ orthonormierte Koordinatensystem X,Y,Z trägt die Basiseinheitsvektoren I , J , K (diese Reihenfolge). Das neue System entsteht aus dem alten durch eine Mehrfachdrehung. Die Nullpunkte beider Systeme fallen zusammen. Die gegenseitige Lage beider Systeme kann durch die Eulerschen Winkel psi, phi und theta beschrieben werden. Das geht so: Den Beginn macht die Schnittgerade s der Ebenen (x,y) und (X,Y); sie steht zu den Achsen z und Z je senkrecht. Sie wird so orientiert, dass sie mit der z- und der Z-Achse in dieser Reihenfolge eine Rechtsschraube bildet. Die so orientierte Achse heisst Knotenachse. Der in die positive Richtung von s zeigende Einheitsvektor werde mit m(!) bezeichnet. Nun zu den drei E-Winkeln: Präzessionswinkel psi : Winkel der Richtungen (i, m), id est Winkel der x-Achse und Knotenachse Rotationswinkel phi : Winkel der Richtungen (m, I),id est Winkel der Knotenachse und der X-Achse Nutationswinkel theta : Winkel der Richtungen (k ,K) ,id est Winkel der beiden z-Aches z, Z. Die Namen dieser Winkel sind lateinischen Ursprungs; sie stehen in engem Zusammenhang mit der Theorie der Kreiselbewegungen. z.B. nutare heisst nicken, hin und her schwanken . Ziel: Gesucht wird die Transformationsmatrix T, welche die Basisvektoren i, j, k in die Basisvektoren I,J,K transformiert. Wir stellen m.a.W. I, J, K durch Linearkombinationen von i, j, k dar. Fortsetzung folgt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3427 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 14:18: |
|
Hi allerseits Parade der Eulerschen Winkel Der Einheitsvektor m auf der Knotenachse lässt sich als Linearkombination der Vektoren i und j so schreiben: m = i cos psi + j sin psi. Wir bilden nun das Vektorprodukt a der Vektoren m und k: a = m x k (das Kreuz x bedeutet: bilde das Vektorprodukt !) Der Vektor a steht auf m und k senkrecht. Es folgt sofort: K = k cos theta + a sin theta Wir bilden analog das Vektorprodukt b der Vektoren m und K: b = m x K Der Vektor b steht auf m und K senkrecht. Es folgt sofort: I = m cos phi - b sin phi ferner J = - m sin phi - b cos phi Beachte: a = m x k = - j cos psi + i sin psi damit erhalten wir: K = i sin psi * sin theta - j cos psi * sin theta + k cos theta Wir haben damit schon die dritte Zeile der Matrix T im Köcher. b = m x K = i sin psi * cos theta - j cos psi * cos theta – k sin theta damit erhalten wir folgende Rattenschwänze: I = i (cos psi * cos phi – sin psi * cos theta * sin phi) + j (sin psi * cos phi + cos psi * cos theta * sin phi) + k sin theta * sin phi , ferner J = - i (cos psi * sin phi + sin psi * cos theta * cos phi) + j (- sin psi * sin phi + cos psi * cos theta * cos phi) + k sin theta * cos phi Das sind - in nuce - die beiden ersten Zeilen der Matrix T. Sei T = [[a11, a12, a13], [a21, a22, a23],[a31.a32, a33]] In den innern Klammern stehen die Zeilenvektoren der Matrix. Die Elemente sind: a11 = cos psi * cos phi – sin psi * cos theta * sin phi a12 = sin psi * cos phi + cos psi * cos theta * sin phi a13 = sin theta * sin phi a21 = - (cos psi * sin phi + sin psi * cos theta * cos phi) a22 = - sin psi * sin phi + cos psi * cos theta * cos phi a23 = sin theta * cos phi a31 = sin psi * sin theta a32 = - cos psi * sin theta a33 = cos theta Das sind die Formeln, die Olaf neulich ins Forum stellte. Aufforderung zu frohem Tun: Man bestätige, dass die Matrix T eo ipso orthogonal ist! Mit freundlichen Grüßen H.R.moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1091 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 17:40: |
|
Hi megamath, besten Dank für deine Ausführungen! Sie sind wieder einmal sehr lehrreich! War deine Zusatzaufgabe ernst gemeint? Sieht mir auf den ersten Blick nach viel Rechenarbeit aus, man muss ja dann zeigen: M * M^t = E oder det(M)=+-1 oder irre ich mich da? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3428 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 18:26: |
|
Hi Ferdi Nein,es war nicht ganz ernst gemeint, weil es an und für sich nicht mehr nötig ist. Die direkte Herleitung ist stringent. Fur Neulinge im Umgang mit trig. Funktionen könnten die Rechnungen aber nützlich sein! Was ist zu tun? Zeilen im Sinne des Skalarproduktes mit sich selber und mit anderen zu multiplizieren und Resulte eins oder null zu bekommen; Determinante 1 ist dann durch Stichprobe nachzuweisen. MfG H.R.Moser,megamath
|
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 351 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 18:46: |
|
Hi Megamath,hi Ferdi, Aber mal allgemein gefragt: Reicht es zu zeigen,daß det(A)=+-1 ist? Das zeigt doch nur,daß die Matrix regulär ist.Die Bedingung A*A^T=E muß deshalb aber doch nicht erfüllt sein.Oder liege ich da irgendwo falsch? Wie man ein Matrizenprodukt berechnet ist klar,aber hierfür muß ich wohl Urlaub nehmen! Gruß,Olaf |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 352 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 18:58: |
|
Hi,zumindest soviel: Es ist zu zeigen,daß a11^2+a12^2+a13^2=1 a11*a21+a12*a22+a13*a23=0 a11*a31+a12*a32+a13*a33=0 a11*a21+a12*a22+a13*a23=0 a21^2+a22^2+a23^2=1 a21*a31+a22*a32+a23*a33=0 a11*a31+a12*a32+a13*a33=0 a21*a31+a22*a32+a23*a33=0 a31^2+a32^2+a33^2=1 Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3429 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 19:49: |
|
Hi Olaf Du hast schon Recht mit Deinem letzten Betrag. Nur genügt es, 6 Gleichungen zu prüfen, es braucht hier nicht alle Neune wie beim Kegeln, sechs genügen wie beim Lotto. erste mit erster,erste mit zweiter, erste mit dritter,zweite mit dritter,dritte mit dritter, gemeint sind Zeilen. Es gilt der bekannte Satz: Eine Matrix,die nach Zeilen orthogonal ist, ist auch nach Kolonnen orthogonal. MfG H.R.Moser,megamath
|
|