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Lockere Folge 196* : Die Eulerschen ...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3426
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 14:06:   Beitrag drucken

Hi allerseits.

Die Nummer ZF 196* ist eine Spezialausgabe:
es sollen die Eulerschen Winkel vorgestellt und die
entsprechende Transformationsmatrix hergeleitet werden.

In den Bezeichnungen gehe ich wiederum neue Wege.
Ich wähle aus nostalgischen Gründen die
Bezeichnungen, wie sie während meines Studiums
an der ETH in den Vorlesungen von Eduard Stiefel
benützt wurden.

Das „alte“ orthonormierte Koordinatensystem x,y,z
trägt die Basiseinheitsvektoren i , j , k (diese Reihenfolge).

Das „neue“ orthonormierte Koordinatensystem X,Y,Z
trägt die Basiseinheitsvektoren I , J , K (diese Reihenfolge).

Das neue System entsteht aus dem alten durch eine
Mehrfachdrehung.
Die Nullpunkte beider Systeme fallen zusammen.
Die gegenseitige Lage beider Systeme kann durch die
Eulerschen Winkel psi, phi und theta beschrieben werden.

Das geht so:

Den Beginn macht die Schnittgerade s der Ebenen
(x,y) und (X,Y); sie steht zu den Achsen z und Z je
senkrecht. Sie wird so orientiert, dass sie mit der z- und
der Z-Achse in dieser Reihenfolge eine Rechtsschraube bildet.
Die so orientierte Achse heisst Knotenachse.
Der in die positive Richtung von s zeigende Einheitsvektor
werde mit m(!) bezeichnet.

Nun zu den drei E-Winkeln:

Präzessionswinkel psi :
Winkel der Richtungen (i, m), id est
Winkel der x-Achse und Knotenachse

Rotationswinkel phi :
Winkel der Richtungen (m, I),id est
Winkel der Knotenachse und der X-Achse

Nutationswinkel theta :
Winkel der Richtungen (k ,K) ,id est
Winkel der beiden z-Aches z, Z.

Die Namen dieser Winkel sind lateinischen Ursprungs;
sie stehen in engem Zusammenhang mit der
Theorie der Kreiselbewegungen.
z.B. nutare heisst nicken, hin und her schwanken .


Ziel:
Gesucht wird die Transformationsmatrix T, welche
die Basisvektoren i, j, k in die Basisvektoren I,J,K
transformiert.
Wir stellen m.a.W. I, J, K durch Linearkombinationen
von i, j, k dar.

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3427
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 14:18:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Parade der Eulerschen Winkel

Der Einheitsvektor m auf der Knotenachse lässt sich
als Linearkombination der Vektoren i und j so schreiben:
m = i cos psi + j sin psi.

Wir bilden nun das Vektorprodukt a der Vektoren m und k:
a = m x k (das Kreuz x bedeutet: bilde das Vektorprodukt !)
Der Vektor a steht auf m und k senkrecht.
Es folgt sofort:
K = k cos theta + a sin theta

Wir bilden analog das Vektorprodukt b der Vektoren m und K:
b = m x K
Der Vektor b steht auf m und K senkrecht.
Es folgt sofort:
I = m cos phi - b sin phi
ferner
J = - m sin phi - b cos phi

Beachte:

a = m x k = - j cos psi + i sin psi
damit erhalten wir:
K = i sin psi * sin theta - j cos psi * sin theta + k cos theta
Wir haben damit schon die dritte Zeile der Matrix T im Köcher.

b = m x K = i sin psi * cos theta - j cos psi * cos theta – k sin theta
damit erhalten wir folgende Rattenschwänze:

I = i (cos psi * cos phi – sin psi * cos theta * sin phi)
+ j (sin psi * cos phi + cos psi * cos theta * sin phi)
+ k sin theta * sin phi , ferner

J = - i (cos psi * sin phi + sin psi * cos theta * cos phi)
+ j (- sin psi * sin phi + cos psi * cos theta * cos phi)
+ k sin theta * cos phi



Das sind - in nuce - die beiden ersten Zeilen der Matrix T.

Sei T = [[a11, a12, a13], [a21, a22, a23],[a31.a32, a33]]
In den innern Klammern stehen die Zeilenvektoren der Matrix.
Die Elemente sind:

a11 = cos psi * cos phi – sin psi * cos theta * sin phi
a12 = sin psi * cos phi + cos psi * cos theta * sin phi
a13 = sin theta * sin phi

a21 = - (cos psi * sin phi + sin psi * cos theta * cos phi)
a22 = - sin psi * sin phi + cos psi * cos theta * cos phi
a23 = sin theta * cos phi

a31 = sin psi * sin theta
a32 = - cos psi * sin theta
a33 = cos theta

Das sind die Formeln, die Olaf neulich ins Forum stellte.

Aufforderung zu frohem Tun:
Man bestätige, dass die Matrix T eo ipso orthogonal ist!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.moser,megamath









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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1091
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 17:40:   Beitrag drucken

Hi megamath,

besten Dank für deine Ausführungen! Sie sind wieder einmal sehr lehrreich!

War deine Zusatzaufgabe ernst gemeint? Sieht mir auf den ersten Blick nach viel Rechenarbeit aus, man muss ja dann zeigen:

M * M^t = E oder det(M)=+-1

oder irre ich mich da?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3428
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 18:26:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Nein,es war nicht ganz ernst gemeint,
weil es an und für sich nicht mehr nötig ist.
Die direkte Herleitung ist stringent.
Fur Neulinge im Umgang mit trig. Funktionen
könnten die Rechnungen aber nützlich sein!

Was ist zu tun?
Zeilen im Sinne des Skalarproduktes mit sich selber und mit anderen zu multiplizieren
und Resulte eins oder null zu bekommen;
Determinante 1 ist dann durch Stichprobe
nachzuweisen.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 351
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 18:46:   Beitrag drucken

Hi Megamath,hi Ferdi,

Aber mal allgemein gefragt:
Reicht es zu zeigen,daß

det(A)=+-1 ist?

Das zeigt doch nur,daß die Matrix regulär ist.Die Bedingung

A*A^T=E muß deshalb aber doch nicht erfüllt sein.Oder liege ich da irgendwo falsch?

Wie man ein Matrizenprodukt berechnet ist klar,aber hierfür muß ich wohl Urlaub
nehmen!:-)


Gruß,Olaf
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 352
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 18:58:   Beitrag drucken

Hi,zumindest soviel:

Es ist zu zeigen,daß

a11^2+a12^2+a13^2=1

a11*a21+a12*a22+a13*a23=0

a11*a31+a12*a32+a13*a33=0


a11*a21+a12*a22+a13*a23=0

a21^2+a22^2+a23^2=1

a21*a31+a22*a32+a23*a33=0


a11*a31+a12*a32+a13*a33=0

a21*a31+a22*a32+a23*a33=0

a31^2+a32^2+a33^2=1


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3429
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 19:49:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Du hast schon Recht mit Deinem letzten Betrag. Nur genügt es, 6 Gleichungen zu prüfen,
es braucht hier nicht alle Neune wie beim
Kegeln, sechs genügen wie beim Lotto.
erste mit erster,erste mit zweiter, erste mit dritter,zweite mit dritter,dritte mit dritter, gemeint sind Zeilen.

Es gilt der bekannte Satz:
Eine Matrix,die nach Zeilen orthogonal ist,
ist auch nach Kolonnen orthogonal.

MfG
H.R.Moser,megamath

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