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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3400 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Januar, 2004 - 14:43: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 196 ist die Gleichung eines einschaligen Rotationshyperboloids zu ermitteln. Gegeben ist die Richtung der Rotationsachse durch den Vektor a={-1/2/2}. Die Achse selbst geht durch den Nullpunkt; der Kehlkreisradius beträgt r = 2, und der Meridian ist eine gleichseitige Hyperbel, also eine Normalhyperbel. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1083 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Januar, 2004 - 17:35: |
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Hi megamath, es scheint Zahlreich funktioniert wieder! Diese Aufgabe ist sehr anspruchsvoll für den Wiedereinstieg! Was bedeutet in diesem Zusammenhang Meridian? Ich kenne ihn aus der Stochastik, aber im Bereich Geometrie... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3402 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Januar, 2004 - 18:52: |
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Hi Ferdi Die Aufgabe LF 196 ist tatsächlich nicht leicht, auch für Fortgeschrittene nicht! Lasse sie bis morgen ruhen; ich werde noch ein wenig Schützenhilfe geben. In der Statistik tritt der Begriff des Medians auf, in der Geometrie und in der Geographie geht es um den Begriff des Meridians einer Rotationsfläche. Dies ist eine Kurve c in einer Ebene durch die Rotationsachse a, welche gewissen Bedingungen genügt, um die wir uns jetzt nicht kümmern wollen. Bei einer Rotation um a erzeugt c die Rotationsfläche und heißt deswegen auch Erzeugende. Die Meridiane der Kugel sind halbe (Gross) - Kreise durch die Pole. Ist c ein Kreis, der a nicht trifft, so erzeugt c einen Torus. etc. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3403 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Januar, 2004 - 21:31: |
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Hi Ferdi, Es folgt eine kleine Hilfe zur Aufgabe LF 196. Das einschalige Rotationshyperboloid mit den angegebenen Daten nimmt in einem orthonormierten Koordinatensystem mit den Achsen X,Y,Z Platz. Die Basiseinheitsvektoren sind der Reihe nach E1,E2,E3. Die X-Achse fällt dabei mit der Rotationsachse zusammen, der Mittelpunkt der Fläche liegt im Nullpunkt. Ansatz für die Gleichung der Fläche: - X^2 + Y^2 + Z^2 = 4 Alles ist in bester Ordnung: Schneide die Fläche mit der Ebene durch O, senkrecht zur X-Achse; es entsteht der Kehlkreis Y^2 + Z^2 = 4 , X = 0. Schneide die Fläche mit der (X,Y)-Ebene ; es entsteht der MERIDIAN - X^2 + Y^2 = 4 , Z = 0. Das ist eine gleichseitige Hyperbel mit der Y-Achse als reelle Achse. Nun ist folgendes zu tun: Die Fläche ist im alten Koordinatensystem (x,y,z), mit den Basiseinheitsvektoren e1,e2,e3 darzustellen, in welchem wir die Achsenrichtung {-1/2/2} festgelegt haben. Es ist die Matrix M der orthogonalen Transformation zu ermitteln, welche die obige Gleichung mit X,Y,Z in die gesuchte Gleichung des Rotationshyperboloids, angeschrieben mit x , y , z , überführt. Die erste Zeile dieser Matrix haben wir schon! Wir stauchen den Vektor a zum Einheitsvektor und setzen seine Koordinaten in die erste Zeile von M; sie lautet: -1/3 , 2/3 , 2/3. Wir beachten: E1 = -1/3 e1 + 2/3 e2 + 2/3 e3. Um die zweite Zeile der orthogonalen Matrix zu finden, nützen wir Freiheitsgrade aus. Die Zeilenvektoren Nr.2 und Nr. 3 sind zueinander senkrechte Einheitsvektoren in der Normalebene durch O zum Vektor a. Empfehlung: man lasse die zweite Zeile mit dem Element 2/3 beginnen, und das Weitere ergibt sich beinahe von selbst! Wir gewinnen mit der zweiten Zeile von M eine Darstellung für den Basiseinheitsvektor E2, mit der dritten eine ebensolche für E3. Das Ziel ist greifbar nahe! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3414 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 07:53: |
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Hi allerseits Lösung der Aufgabe LF 196. Aufstellung der im Lösungshinweis genannten orthogonalen Matrix M: M = 1/3 * [[-1,2,2],[2,-1,2],[2.2,-1]] Die eckigen Klammern im Innern enthalten der Reihe nach die Zeilenvektoren von M, wobei jedes Element noch mit dem Faktor 1/3 zu multiplizieren ist (Normierung). Die Basiseinheitsvektoren E1,E2,E3 des (X,Y,Z)-Systems lassen sich somit wie folgt durch die Basiseinheitsvektoren e1,e2,e3 des (x,y,z)- Systems darstellen: E1 = -1/3 e1 + 2/3 e2 + 2/3 e3 E2 = 2/3 e1 - 1/3 e2 + 2/3 e3 E3 = 2/3 e1 + 2/3 e2 - 1/3 e3 Daraus folgt für die Punktkoordinaten analog: X = -1/3 x + 2/3 y + 2/3 z. Y = 2/3 x - 1/3 y + 2/3 z Z = 2/3 x + 2/3 y - 1/3 z Dies setzen wir in die Gleichung des Rotationshyperboloids, dargestellt mit (X,Y,Z) - Koordinaten, ein; aus - X^2 + Y^2 + Z^2 = 4 wird dann: 7 x^2 + y^2 + z ^2 + 8 x y – 16 y z + 8 z x – 36 = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Wir sind damit am Ziel! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 347 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 19:10: |
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Hi Megamath, Ich habe mich neulich "zufällig" mit den Eulerschen Winkeln beschäftigt,deshalb konnte ich die Aufgabe spontan nur so lösen (deine Lösung muß ich erst noch studieren!): Bezeichnungen: n: Nutationswinkel (z-/z´-Achse) p: Präzessionswinkel (x-Achse und Schnittgerade von x,y/x´,y´-Ebene) d: Drehungswinkel (x´-Achse und Schnittgerade von x,y/x´,y´-Ebene) Die Gleichung der x,y-Ebene ist x=s*(1,0,0)+t*(0,1,0), die Gleichung der Ebene durch den Ursprung mit a=z´=(-1,2,2) als Normalenvektor x=u*(2,1,0)+v*(2,0,1).(x´,y´-Ebene) Winkel zwischen positiver z-Achse und z´-Achse: c1=cos(n)=z*z´/(|z|*|z´|)=2/3 s1=sin(n)=sqrt(5)/3 Ich berechne die Schnittgerade der x,y-Ebene mit der x´,y´-Ebene,die ich gleichzeitig die x´-Achse sein soll (Rotationskörper=>Symmetrie=>d=0): s*(1,0,0)+t*(0,1,0)=u*(2,1,0)+v*(2,0,1) => x=w*(2,1,0) Winkel positive x-Achse/Schnittgerade: c2=cos(p)=2/sqrt(5) s2=sin(p)=1/sqrt(5) Winkel positive x´-Achse/Schnittgerade: d=0 c3=cos(0)=1 s3=sin(0)=0 l1=c2*c3-c1*s2*s3=2/sqrt(5) l2=-c2*s3-c1*s2*c3=-2/(2*sqrt(5)) l3=s1*s2=1/3 m1=s2*c3+c1*c2*s3 m2=-s2*s3+c1*c2*c3 m3=-s1*c2 n1=s1*s3=0 n2=s1*c3=sqrt(5)/3 n3=c1=2/3 Es ist x=l1*X+m1*Y+n1*Z y=l2*X+m2*Y+n2*Z z=l3*X+m3*Y+n2*Z, daraus ergibt sich x=(2X+Y)/sqrt(5) y=(4Y-2X+5Z)/(3*sqrt(5)) z=(X-2Y-2Z)/3. In die Gleichung x^2+y^2-z^2-4=0 eingesetzt ergibt nach Umformung: 7X^2+Y^2+Z^2+8XY-16YZ+8ZX-36=0 Ist nicht sehr elegant,aber ich erhalte zumindest das richtige Resultat... Gruß,Olaf (Beitrag nachträglich am 22., Januar. 2004 von heavyweight editiert) |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1087 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 19:27: |
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Hi megamath und Olaf! Jetzt erkenne ich das Ziel, es geht quasi darum alles von hinten aufzuräumen! Dennoch hab ich eine Frage: Was sind Eulersche Winkel??? Das würd mich schonmal interessieren! Mir ist der BEgriff völlig unbekannt. mfg |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 348 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 19:47: |
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Hi Ferdi, Ich habe mich natürlich gefragt,wie die Umkehrung der Hauptachsentransformation funktioniert.Dadurch bin ich im Bronstein auf die Eulerschen Winkel aufmerksam geworden. Viel mehr als ich oben geschrieben habe,steht dort aber leider nicht.Falls Du den Bronstein aber nicht besitzt,tippe ich die paar Zeilen gerne kurz ein. Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3420 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 20:31: |
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Hi Olaf,hi Ferdi @ Olaf Das ist wirklich verdienstvoll,Olaf,die Aufgabe mit den Eulerschen Winkeln zu lösen. Ich gratuliere zum Erfolg! Ich komme später auf den Begriff zurüch Etwa ab LF 225 werden sie hier auftreten. Ich habe diese Winkel im Studium bei Arbeiten aus der Mechanik, insbesndere in der Kreiseltheorie, benötigt @ Ferdi Du hast Recht , es ist das Rückwärtsparken und dementsprechend wichtig! Die Rückspiegel können dabei sehr hilfreich sein. MfG H.R.Mosetr,megamaht |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3421 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 20:38: |
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Hi Olaf, Es könnte nützlich sein,eine Kurzfassung des Begriffs "Eulersche Winkel" ins Forum zu stellen. Vielen Dank im Voraus Ich werde nun versuchen,meinen Namen endlich ohne Tippfehler zu schreiben: MfG H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 349 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 21:35: |
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Hi, EULERSCHE WINKEL ------------------ Die Lage des neuen Koordinatensystems relativ zum alten kann mir Hilfe von drei Winkeln, Die EULER eingeführt hat,vollständig bestimmt werden. a) Nutationswinkel J wird der Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Achse und der Schnittgeraden OA zwischen der x,y- und x´,y´-Ebene genannt;er liegt in den Grenzen 0 £ J < p b) Präzessionswinkel Y wird der Winkel zwischen der positiven Richtungs der x-Achse und der Schnittgeraden OA zwischen der x,y- und x´,y´-Ebene genannt.Die positive Richtung von OA wird derart gewählt,daß die z-Achse sowie OA ein Richtungstripel mit der gleichen Orientierung bilden wie die Koordinatenachsen.Die Messung von Y erfolgt von der x-Achse aus in Richtung y-Achse;die Grenzen sind 0 £ Y < p; c) Drehungswinkel F wird der Winkel zwischen der positiven x´-Richtung und der Schnittgeraden OA genannt;er liegt in den Grenzen 0 £ F < 2p. Wenn anstelle der Winkelfunktionen zur Abkürzung gesetzt wird cos(J)=c1,cos(Y)=c2,cos(F)=c3, sin(J)=s1,sin(Y)=s2,sin(F)=s3, dann gilt l1=c2*c3-c1*s2*s3 l2=-c2*s3-c1*s2*c3 l3=s1*s2 m1=s2*c3+c1*c2*s3 m2=-s2*s3+c1*c2*c3 m3=-s1*c2 n1=s1*s3 n2=s1*c3 n3=c1 Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3422 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 09:58: |
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Hi Olaf Vielen Dank für Deine Bemühungen! Deine Ausführungen sind äußerst hilfreich, und sie werden Vieles klären. Wenn jemand das wünscht, werde ich die vorliegenden Formeln herleiten. Das ist etwas aufwendig, sogar aufwändig, aber lohnend. Ich würde das unter einer neuen Nummer ZF 196* tun. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1088 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 11:35: |
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Hi, das ist sehr interesant! Mich würde eine Herleitung interessieren, wenn sie nicht zu ZEITaufwendig ist! mfg |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 350 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 16:30: |
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Hi Megamath, Vielen Dank für die Mühe!Ich bin natürlich ebenfalls sehr an der Herleitung interessiert! Gruß,Olaf |
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