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Lockere Folge 196 : Rotationshyperbol...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3400
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Januar, 2004 - 14:43:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 196 ist die Gleichung eines
einschaligen Rotationshyperboloids zu ermitteln.

Gegeben ist die Richtung der Rotationsachse
durch den Vektor a={-1/2/2}.
Die Achse selbst geht durch den Nullpunkt;
der Kehlkreisradius beträgt r = 2,
und der Meridian ist eine gleichseitige Hyperbel,
also eine Normalhyperbel.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1083
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Januar, 2004 - 17:35:   Beitrag drucken

Hi megamath,

es scheint Zahlreich funktioniert wieder!

Diese Aufgabe ist sehr anspruchsvoll für den Wiedereinstieg!

Was bedeutet in diesem Zusammenhang Meridian? Ich kenne ihn aus der Stochastik, aber im Bereich Geometrie...

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3402
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Januar, 2004 - 18:52:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Die Aufgabe LF 196 ist tatsächlich nicht leicht, auch für Fortgeschrittene nicht!
Lasse sie bis morgen ruhen; ich werde noch ein wenig Schützenhilfe geben.

In der Statistik tritt der Begriff des Medians auf, in der Geometrie und
in der Geographie geht es um den Begriff des Meridians einer Rotationsfläche.
Dies ist eine Kurve c in einer Ebene durch die Rotationsachse a, welche
gewissen Bedingungen genügt, um die wir uns jetzt nicht kümmern wollen.
Bei einer Rotation um a erzeugt c die Rotationsfläche und heißt deswegen
auch Erzeugende.
Die Meridiane der Kugel sind halbe (Gross) - Kreise durch die Pole.
Ist c ein Kreis, der a nicht trifft, so erzeugt c einen Torus.
etc.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3403
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Januar, 2004 - 21:31:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Es folgt eine kleine Hilfe zur Aufgabe LF 196.

Das einschalige Rotationshyperboloid mit den angegebenen Daten
nimmt in einem orthonormierten Koordinatensystem mit den
Achsen X,Y,Z Platz. Die Basiseinheitsvektoren sind der Reihe nach
E1,E2,E3.
Die X-Achse fällt dabei mit der Rotationsachse zusammen,
der Mittelpunkt der Fläche liegt im Nullpunkt.
Ansatz für die Gleichung der Fläche:
- X^2 + Y^2 + Z^2 = 4
Alles ist in bester Ordnung:
Schneide die Fläche mit der Ebene durch O,
senkrecht zur X-Achse; es entsteht
der Kehlkreis Y^2 + Z^2 = 4 , X = 0.
Schneide die Fläche mit der (X,Y)-Ebene ; es entsteht
der MERIDIAN
- X^2 + Y^2 = 4 , Z = 0.
Das ist eine gleichseitige Hyperbel mit der Y-Achse
als reelle Achse.

Nun ist folgendes zu tun:
Die Fläche ist im alten Koordinatensystem (x,y,z),
mit den Basiseinheitsvektoren e1,e2,e3 darzustellen,
in welchem wir die Achsenrichtung {-1/2/2} festgelegt haben.

Es ist die Matrix M der orthogonalen Transformation
zu ermitteln, welche die obige Gleichung mit X,Y,Z in die
gesuchte Gleichung des Rotationshyperboloids, angeschrieben
mit x , y , z , überführt.
Die erste Zeile dieser Matrix haben wir schon!
Wir stauchen den Vektor a zum Einheitsvektor und setzen
seine Koordinaten in die erste Zeile von M; sie lautet:
-1/3 , 2/3 , 2/3.
Wir beachten:
E1 = -1/3 e1 + 2/3 e2 + 2/3 e3.

Um die zweite Zeile der orthogonalen Matrix zu finden,
nützen wir Freiheitsgrade aus.
Die Zeilenvektoren Nr.2 und Nr. 3 sind zueinander senkrechte
Einheitsvektoren in der Normalebene durch O zum Vektor a.
Empfehlung: man lasse die zweite Zeile mit dem Element 2/3
beginnen, und das Weitere ergibt sich beinahe von selbst!

Wir gewinnen mit der zweiten Zeile von M eine Darstellung für
den Basiseinheitsvektor E2, mit der dritten eine ebensolche für E3.
Das Ziel ist greifbar nahe!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3414
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 07:53:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Lösung der Aufgabe LF 196.

Aufstellung der im Lösungshinweis genannten
orthogonalen Matrix M:
M = 1/3 * [[-1,2,2],[2,-1,2],[2.2,-1]]
Die eckigen Klammern im Innern enthalten der Reihe
nach die Zeilenvektoren von M, wobei jedes Element
noch mit dem Faktor 1/3 zu multiplizieren ist
(Normierung).
Die Basiseinheitsvektoren E1,E2,E3 des (X,Y,Z)-Systems
lassen sich somit wie folgt durch die Basiseinheitsvektoren
e1,e2,e3 des (x,y,z)- Systems darstellen:
E1 = -1/3 e1 + 2/3 e2 + 2/3 e3
E2 = 2/3 e1 - 1/3 e2 + 2/3 e3
E3 = 2/3 e1 + 2/3 e2 - 1/3 e3
Daraus folgt für die Punktkoordinaten analog:
X = -1/3 x + 2/3 y + 2/3 z.
Y = 2/3 x - 1/3 y + 2/3 z
Z = 2/3 x + 2/3 y - 1/3 z

Dies setzen wir in die Gleichung des Rotationshyperboloids,
dargestellt mit (X,Y,Z) - Koordinaten, ein;
aus - X^2 + Y^2 + Z^2 = 4 wird dann:
7 x^2 + y^2 + z ^2 + 8 x y – 16 y z + 8 z x – 36 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir sind damit am Ziel!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath














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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 347
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 19:10:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Ich habe mich neulich "zufällig" mit den Eulerschen Winkeln beschäftigt,deshalb konnte ich
die Aufgabe spontan nur so lösen (deine Lösung muß ich erst noch studieren!):

Bezeichnungen:

n: Nutationswinkel (z-/z´-Achse)

p: Präzessionswinkel (x-Achse und Schnittgerade von x,y/x´,y´-Ebene)

d: Drehungswinkel (x´-Achse und Schnittgerade von x,y/x´,y´-Ebene)


Die Gleichung der x,y-Ebene ist

x=s*(1,0,0)+t*(0,1,0),

die Gleichung der Ebene durch den Ursprung mit a=z´=(-1,2,2) als Normalenvektor

x=u*(2,1,0)+v*(2,0,1).(x´,y´-Ebene)


Winkel zwischen positiver z-Achse und z´-Achse:

c1=cos(n)=z*z´/(|z|*|z´|)=2/3

s1=sin(n)=sqrt(5)/3


Ich berechne die Schnittgerade der x,y-Ebene mit der x´,y´-Ebene,die ich gleichzeitig
die x´-Achse sein soll (Rotationskörper=>Symmetrie=>d=0):

s*(1,0,0)+t*(0,1,0)=u*(2,1,0)+v*(2,0,1)

=> x=w*(2,1,0)


Winkel positive x-Achse/Schnittgerade:

c2=cos(p)=2/sqrt(5)

s2=sin(p)=1/sqrt(5)


Winkel positive x´-Achse/Schnittgerade:

d=0

c3=cos(0)=1

s3=sin(0)=0


l1=c2*c3-c1*s2*s3=2/sqrt(5)

l2=-c2*s3-c1*s2*c3=-2/(2*sqrt(5))

l3=s1*s2=1/3


m1=s2*c3+c1*c2*s3

m2=-s2*s3+c1*c2*c3

m3=-s1*c2


n1=s1*s3=0

n2=s1*c3=sqrt(5)/3

n3=c1=2/3


Es ist

x=l1*X+m1*Y+n1*Z

y=l2*X+m2*Y+n2*Z

z=l3*X+m3*Y+n2*Z,

daraus ergibt sich

x=(2X+Y)/sqrt(5)

y=(4Y-2X+5Z)/(3*sqrt(5))

z=(X-2Y-2Z)/3.

In die Gleichung x^2+y^2-z^2-4=0 eingesetzt ergibt nach Umformung:

7X^2+Y^2+Z^2+8XY-16YZ+8ZX-36=0


Ist nicht sehr elegant,aber ich erhalte zumindest das richtige Resultat...


Gruß,Olaf

(Beitrag nachträglich am 22., Januar. 2004 von heavyweight editiert)
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1087
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 19:27:   Beitrag drucken

Hi megamath und Olaf!

Jetzt erkenne ich das Ziel, es geht quasi darum alles von hinten aufzuräumen!

Dennoch hab ich eine Frage: Was sind Eulersche Winkel??? Das würd mich schonmal interessieren! Mir ist der BEgriff völlig unbekannt.

mfg
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 348
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 19:47:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Ich habe mich natürlich gefragt,wie die Umkehrung der Hauptachsentransformation funktioniert.Dadurch bin ich im Bronstein auf die Eulerschen Winkel aufmerksam geworden.
Viel mehr als ich oben geschrieben habe,steht dort aber leider nicht.Falls Du den Bronstein
aber nicht besitzt,tippe ich die paar Zeilen gerne kurz ein.


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3420
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 20:31:   Beitrag drucken

Hi Olaf,hi Ferdi

@ Olaf
Das ist wirklich verdienstvoll,Olaf,die Aufgabe
mit den Eulerschen Winkeln zu lösen.
Ich gratuliere zum Erfolg!

Ich komme später auf den Begriff zurüch
Etwa ab LF 225 werden sie hier auftreten.
Ich habe diese Winkel im Studium bei Arbeiten
aus der Mechanik,
insbesndere in der Kreiseltheorie, benötigt

@ Ferdi
Du hast Recht , es ist das Rückwärtsparken und dementsprechend wichtig!
Die Rückspiegel können dabei sehr hilfreich sein.

MfG
H.R.Mosetr,megamaht
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3421
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 20:38:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Es könnte nützlich sein,eine Kurzfassung des Begriffs "Eulersche Winkel" ins Forum zu stellen.
Vielen Dank im Voraus
Ich werde nun versuchen,meinen Namen endlich
ohne Tippfehler zu schreiben:
MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Nummer des Beitrags: 349
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Januar, 2004 - 21:35:   Beitrag drucken

Hi,

EULERSCHE WINKEL
------------------

Die Lage des neuen Koordinatensystems relativ zum alten kann mir Hilfe von drei Winkeln,
Die EULER eingeführt hat,vollständig bestimmt werden.

a) Nutationswinkel J wird der Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Achse und der Schnittgeraden OA zwischen der x,y- und x´,y´-Ebene genannt;er liegt in den Grenzen
0 £ J < p

b) Präzessionswinkel Y wird der Winkel zwischen der positiven Richtungs der x-Achse und der Schnittgeraden OA zwischen der x,y- und x´,y´-Ebene genannt.Die positive Richtung von OA wird derart gewählt,daß die z-Achse sowie OA ein Richtungstripel mit der gleichen Orientierung bilden wie die Koordinatenachsen.Die Messung von Y erfolgt von der x-Achse aus in Richtung y-Achse;die Grenzen sind 0 £ Y < p;

c) Drehungswinkel F wird der Winkel zwischen der positiven x´-Richtung und der Schnittgeraden OA genannt;er liegt in den Grenzen 0 £ F < 2p.

Wenn anstelle der Winkelfunktionen zur Abkürzung gesetzt wird

cos(J)=c1,cos(Y)=c2,cos(F)=c3,

sin(J)=s1,sin(Y)=s2,sin(F)=s3,


dann gilt


l1=c2*c3-c1*s2*s3

l2=-c2*s3-c1*s2*c3

l3=s1*s2

m1=s2*c3+c1*c2*s3

m2=-s2*s3+c1*c2*c3

m3=-s1*c2


n1=s1*s3

n2=s1*c3

n3=c1


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3422
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 09:58:   Beitrag drucken

Hi Olaf



Vielen Dank für Deine Bemühungen!
Deine Ausführungen sind äußerst
hilfreich, und sie werden Vieles klären.

Wenn jemand das wünscht, werde ich die
vorliegenden Formeln herleiten.
Das ist etwas aufwendig, sogar aufwändig,
aber lohnend.
Ich würde das unter einer neuen Nummer
ZF 196* tun.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1088
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 11:35:   Beitrag drucken

Hi,

das ist sehr interesant! Mich würde eine Herleitung interessieren, wenn sie nicht zu ZEITaufwendig ist!

mfg
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 350
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. Januar, 2004 - 16:30:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Vielen Dank für die Mühe!Ich bin natürlich ebenfalls sehr an der Herleitung interessiert!


Gruß,Olaf

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