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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3377 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 13:08: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 187 Es ist wiederum eine Fläche zweiter Ordnung durch ihre Gleichung gegeben; die Gleichung lautet: x^2+y^2+z^2+2 x y - 2 y z + 2 z x – 2x - 2y – 2z + 1 = 0 Man analysiere diese Fläche. Welcher Flächentypus liegt vor, und welches sind die wesentlichen geometrischen Daten? Man weise nach, dass die Fläche zwei Koordinatenachsen berührt und ermittle die Koordinaten der Berührungspunkte. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1077 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 17:26: |
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Hi, auch heute nur eine kurze Meldung: Die Fläche hat einen Mittelpunkt, und zwar M (1/0/0), verschiebt man nun die Fläche so das M der neue Ursprung ist, erhält man: x^2 + y^2 + z^2 + 2xy -2yz + 2xz = 0 Damit kann man herumspielen und sieht: (x-y-z)^2 = 2 * (X^2 + Y^2 + Z^2) und das ist ein Berührungskegel an eine Kugel, wie wir ihn vor ein paar Wochen hatten! Man kann dies auch über Hauptachsentransformation zeigen: M = Ch. Gleichung: T^3 - 3T^2 + 4 = 0 mit T1 = T2 = 2 und T3 = -1 2x^2 + 2y^2 - z^2 = 0 ein Kegel! q.e.d. Ich denke denn Rest macht ein anderer! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3378 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 18:16: |
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Hi Ferdi, Das ist alles in bester Ordnung! Daten: Rotationskegel,Spitze in S(1/0/0) Achsenrichtung r = {-1;1;1} Oeffnungswinkel phi mit phi = arc cos[2/sqrt(6)] Der Kegel berührt die y-Achse in (0/1/0), die z-Achse in ((0/0/1). MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3380 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 20:19: |
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Hi Olaf Wir bilden G = grad(F): x-Koordinate: 2x + 2y + 2z -2 y-Koordinate: 2y + 2x - 2z - 2 z-Koordinate: 2z - 2y + 2x - 2 G ist null für x = 1, y = 0 , z = 0 , und das sind die Koordinaten des Mittelpunktes M. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 342 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 20:37: |
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Hi Megamath, Danke!Den Gradienten kenne ich,auf die Idee bin ich aber nicht gekommen. Dann habe ich nur noch eine Frage: Wie geht ihr beim Öffnugswinkel vor?Einfach einen Punkt P der Fläche bestimmen und dann den Winkel zwischen MP und r berechnen?Oder gibt es da wieder eine elegantere Methode? Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3381 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 21:05: |
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Hi Olaf Telegramm: Richtungsvektor der Achse, Richtungsvektor einer Mantellinie Zwischenwinkel mit Skalarprodukt. MfG H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 343 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 21:18: |
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Hi Megamath, Dankeschön! Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3384 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Januar, 2004 - 07:03: |
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Hi Olaf Der Kegel berührt die y-Achse in (0/1/0) Nachweis: Schneide den Kegel mit der y-Achse; setze also x=0, z=0. Es kommt als Gleichung für y: y^2 - 2y + 1 = 0 oder (y - 1)^2 = 0 mit y = 1 als Doppellösung. Somit ist B(0/1/0) der Berührungspunkt der y-Achse. Um den Öffnungswinkel zu erhalten, benützen wir gerade S(1/0/0) B als Mantellinie, Richtungsvektor v = {-1;1;0} Richtungsvektor a der Achse : a = {-1;1:1},somit Öffnungswinkel phi: cos(phi) =2 / [sqrt(2)*sqrt(3), daraus phi = arc cos[2 / sqrt(6)] ~ 35,26° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 344 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Januar, 2004 - 17:45: |
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Hi Megamath, Ich glaube,der Knoten ist geplatzt! Gruß,Olaf |