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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3375
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 17:26: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 186
Es ist eine Fläche zweiter Ordnung durch
ihre Gleichung gegeben;
sie lautet:
2 x y + 2 y z + 2 z x + k = 0
Bearbeite die Fälle
a) k > 0
b) k = 0
c) k < 0
Welche Flächentypen liegen vor und welches sind die wesentlichen
geometrischen Daten?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1075
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 20:20: |
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Hi megamath,
die quadratische Matrix lautet:
Sie hat die charakteristische Gleichung:
T^3 - 2T - 2 = 0
Also die Eigenwerte:
T = 2 , T = -1 , T = -1
Da eine Doppellösung vorliegt handelt es sich um eine Rotationsfläche!
2X^2 - Y^2 - Z^2 + k = 0
für k > 0 gibt es ein einschaliges Hyperboloid
für k = 0 gibt es einen Doppelkegel
für k < 0 gibt es ein zweischaliges Hyperboloid
Für eine tiefergehende Untersuchung reicht die Zeit leidr nicht mehr!
mfg |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 339
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 20:22: |
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Hi Megamath,
Zunächst definiere ich die Flächen,an dem Rest versuche ich mich morgen.
Ich gehe dabei "bronsteinmäßig" vor:
Es ist
...|0 1 1|
d=|1 0 1|=2 ¹ 0
...|1 1 0|
S=a11+a22+a33=0
T=-(a232+a312+a122)=-(12+12+12)=-3
Es ist also d ¹ 0,S*d und T sind nicht beide >0.
...|0 1 1 0
D=|1 0 1 0|=2k
...|1 1 0 0|
...|0 0 0 k|
Also:
a) k>0 => D>0 => Einschaliges Hyperboloid
b) k=0 => D=0 => Kegel
c) k<0 => D<0 => Zweischaliges Hyperboloid
Gruß,Olaf |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1076
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 20:30: |
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Hi allerseits,
Da bin ich aber froh das wir dasselbe raushaben! Und unsere Zeitdifferenz ist auch nicht zu unterschätzen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3376
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Januar, 2004 - 20:46: |
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Hi Ferdi, Hi Olaf
Da sind Könner am Werk!
Ich grtuliere.
Ich bin gerade damit beschäftigt,hübsche neue Aufgaben zu kreieren,
die morgen erscheinen werden.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 340
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 17:01: |
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Hi Megamath,hi Ferdi,
Es bleibt also noch zu ergänzen,daß die Eigenvektoren auch hier
v1 = {1;1;1} - - - > Achsenrichtung
v2 = {-1;1;0}
v2 = {-1;0;1}
sind.Falls noch mehr Angaben erwartet werden,bin ich wohl momentan noch nicht in der Lage
dazu.
Gruß,Olaf |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 341
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 18:12: |
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Hi,
Ich glaube,ich bekomme noch den Mittelpunkt raus:
A*m=-b
mit b=(0,0,0)
=> m=(0,0,0)
Ich hoffe,das Ergenis ist nicht nur zufällig richtig!
Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3379
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 20:09: |
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Hi Olaf,
Es ist am einfachsten, wenn Du den Vektor grad(F)
ermittelst und aus ihm den Nullvektor machst.
So kannst Du leicht die Koordinaten
des Mittelpunktes M finden.
Ich zeige Dir das bei der Aufgabe LF 187.
(schau dort nach!).
Die Koordinaten von grad (F) sind der
Reihe nach die partiellen Ableitungen der linken Seite F
der auf null gebrachten Gleichung nach x, nach y , nach z.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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