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Lockere Folge 187 : Analyse einer Flä...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3377
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 13:08:   Beitrag drucken

Hi allerseits


Aufgabe LF 187

Es ist wiederum eine Fläche zweiter Ordnung durch
ihre Gleichung gegeben;
die Gleichung lautet:
x^2+y^2+z^2+2 x y - 2 y z + 2 z x – 2x - 2y – 2z + 1 = 0
Man analysiere diese Fläche.
Welcher Flächentypus liegt vor, und welches sind die wesentlichen
geometrischen Daten?
Man weise nach, dass die Fläche zwei Koordinatenachsen berührt
und ermittle die Koordinaten der Berührungspunkte.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1077
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 17:26:   Beitrag drucken

Hi,

auch heute nur eine kurze Meldung:

Die Fläche hat einen Mittelpunkt, und zwar M (1/0/0), verschiebt man nun die Fläche so das M der neue Ursprung ist, erhält man:

x^2 + y^2 + z^2 + 2xy -2yz + 2xz = 0

Damit kann man herumspielen und sieht:

(x-y-z)^2 = 2 * (X^2 + Y^2 + Z^2)

und das ist ein Berührungskegel an eine Kugel, wie wir ihn vor ein paar Wochen hatten!

Man kann dies auch über Hauptachsentransformation zeigen:

M =
111
11-1
1-11


Ch. Gleichung: T^3 - 3T^2 + 4 = 0
mit T1 = T2 = 2 und T3 = -1

2x^2 + 2y^2 - z^2 = 0 ein Kegel! q.e.d.

Ich denke denn Rest macht ein anderer!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3378
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 18:16:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Das ist alles in bester Ordnung!

Daten:
Rotationskegel,Spitze in S(1/0/0)
Achsenrichtung r = {-1;1;1}
Oeffnungswinkel phi mit
phi = arc cos[2/sqrt(6)]
Der Kegel berührt die y-Achse in (0/1/0),
die z-Achse in ((0/0/1).

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3380
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 20:19:   Beitrag drucken

Hi Olaf



Wir bilden G = grad(F):

x-Koordinate: 2x + 2y + 2z -2
y-Koordinate: 2y + 2x - 2z - 2
z-Koordinate: 2z - 2y + 2x - 2

G ist null für x = 1, y = 0 , z = 0 ,
und das sind die Koordinaten des Mittelpunktes M.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 342
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 20:37:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Danke!Den Gradienten kenne ich,auf die Idee bin ich aber nicht gekommen.
Dann habe ich nur noch eine Frage:
Wie geht ihr beim Öffnugswinkel vor?Einfach einen Punkt P der Fläche bestimmen und dann den Winkel zwischen MP und r berechnen?Oder gibt es da wieder eine elegantere Methode?


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3381
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 21:05:   Beitrag drucken

Hi Olaf



Telegramm:
Richtungsvektor der Achse,
Richtungsvektor einer Mantellinie
Zwischenwinkel mit Skalarprodukt.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 343
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Januar, 2004 - 21:18:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Dankeschön!


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3384
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Januar, 2004 - 07:03:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Der Kegel berührt die y-Achse in (0/1/0)
Nachweis:
Schneide den Kegel mit der y-Achse; setze also x=0, z=0.
Es kommt als Gleichung für y:
y^2 - 2y + 1 = 0 oder
(y - 1)^2 = 0 mit y = 1 als Doppellösung.
Somit ist B(0/1/0) der Berührungspunkt der y-Achse.

Um den Öffnungswinkel zu erhalten, benützen wir gerade
S(1/0/0) B als Mantellinie, Richtungsvektor v = {-1;1;0}
Richtungsvektor a der Achse : a = {-1;1:1},somit
Öffnungswinkel phi:
cos(phi) =2 / [sqrt(2)*sqrt(3), daraus
phi = arc cos[2 / sqrt(6)] ~ 35,26°

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 344
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Januar, 2004 - 17:45:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Ich glaube,der Knoten ist geplatzt!:-)


Gruß,Olaf

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