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Differenzierbarkeit

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Eva191105 (Eva191105)
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Junior Mitglied
Benutzername: Eva191105

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 19:41:   Beitrag drucken

N´Abend.

Ich komme mal wieder bei einer Aufgabe kein Stück voran.

Sei f:IR->IR definiert durch
f(x)=:
{x² für x € Q
{0 sonst.
Man zeige, f ist im Punkt 0 differenzierbar und berechne f´(0).

Ich weiß nicht, wie ich die Differenzierbarkeit in diesem Fall zeigen soll.
Kann mir jemand helfen???

Eva
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 427
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Januar, 2004 - 23:14:   Beitrag drucken

Hi Eva!
Bilde mal den Differenzenquotienten (am besten mit der Koordinatendifferenz h). Du erhältst

h²-0
---- = h für h Î Q
.h .
0 sonst

Betrachte jetzt den Grenzwert beider Ausdrücke für h -> 0. Er ist 0. Also existiert ein Grenzwert. Demzufolge ist f differenzierbar mit f'(0) = 0.
Alles klar?
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Kratas (Kratas)
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Mitglied
Benutzername: Kratas

Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 11:52:   Beitrag drucken

Nur so ne (verdammt dumme )Frage mal:
Die Menge der rationalen Zahlen enthält doch nicht 0 oder ? Sonst müsste man schreiben: Q0.Genauso ist das auch bei den anderen Zahlenmengen,oder ? In meinem Mathebuch steht:R0=R U 0
Dann versteh ich z.B. nicht, warum bei Funktionsuntersuchungen D=R ist,also R ohne null.
Und bei Untersuchungen des Defintionsbereiches schreibt man ja auch, sofern keine Lücken,Polstellen gefunden werden, dass D=R ist.
Also enthalten nun alle Zahlenmengen N,Q,R,etc.die Zahl null, oder nicht ?
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Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 435
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 13:13:   Beitrag drucken

Hallo Kratas!
Wenn in deinem Mathebuch wirklich R0 als R È {0} erklärt ist, dann hat der Author wohl beim Schreiben geschlafen. Schließlich ist R die Menge aller reellen Zahlen und enthält selbstverständlich auch die 0. Entsprechendes gilt für Q (0 ist rational) und Z (0 ist eine ganze Zahl). Bei N besteht am ehesten Grund zur Diskussion. Bis vor ein paar Jahren wurde N in Schulbüchern als {1,2,3,...} definiert. Wenn 0 eingeschlossen sein sollte, schrieb man N0. Seit ca. 10 Jahren wird N jedoch als {0,1,2,3,...} erklärt. D.h.: selbst N enthält die Zahl 0.
Kannst du mir Titel, Verfasser und Verlag deines Mathebuchs mal nennen?

Mit freundlichen Grüßen
Jair
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Kratas (Kratas)
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Mitglied
Benutzername: Kratas

Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Januar, 2004 - 18:09:   Beitrag drucken

LS Analysis Eins von 1990...:-)...damit hat sich die Sache geklärt
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Eva191105 (Eva191105)
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Junior Mitglied
Benutzername: Eva191105

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 18:42:   Beitrag drucken

Also ich hab da jetzt noch mal ne Frage. Ich versteh jetzt wohl die Rechnung, aber ich bekomme beim Differenzenquotienten nicht wirklich h heraus. Ich glaub, ich stell die Formel da irgendwie immer falsch auf oder überseh was, aber ohne ne Rechnung, die zu h führt, läßt sich der Rest ja auch nicht nachvollziehbar beweisen...

Wäre super, wenn das nochmal jemand vorrechnen könnte!
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Kratas (Kratas)
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Mitglied
Benutzername: Kratas

Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Januar, 2004 - 21:31:   Beitrag drucken

lim (x->0)m = (f(x0+h)-f(x0))/((x0+h)-x0)
=lim [ f(h)-f(0) ]/[h] = lim (h^2-0)/h=lim h= 0
wenn h € Q
___________
oder,wenn h nicht € Q:
lim (0-0)/h = 0

Gr
Kratas

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