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Redrunner (Redrunner)
Neues Mitglied
Benutzername: Redrunner
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2003 - 14:20: | 
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Hallo,
mal wieder ich
Ich habe folgende Aufgaben gegeben: zum ersten
Wurzel(-0,001 + 0,33i)und zum zweiten
Kubikwurzel(-2*1,414i)
Die Aufgabenstellung lautet nun daß ich alle komplexen Wurzeln errechnen soll.
das ganze habe ich nun mehrmals in trigonometrischer Form versucht weil mir diese einfach besser zusagt wie die Expotentialform.
Dabei habe ich folgende Formel verwendet:
wk=n-te Wurzel von r * ( cos ((F+2*k*P)/n)+i sin((F+2*k*P)/n)
Leider stimmen meine Ergebnisse nicht annähernd mit den Lösungen überein.
Meine Vermutung ist, da ich vom i keine Wurzel ziehe da diese auch unter der Wurzel steht sind meine Ergebnisse falsch.
Doch wie lautete die Wurzel von i?
Bitte unbedingt um Hilfe
Danke.
P.S. wie ist die Formatierung für das Wurzelzeichen? |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 739
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2003 - 15:41: |
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Redrunner,
Zunächst zu "Wurzel von i" : Wie du leicht nachrechnest gilt
[(1+i)/sqrt(2)]2 = i,
d.h. die Gleichung z2 = i besitzt genau die beiden
Lösungen
z1 = (1+i)/sqrt(2) , z2 = - z1.
Allgemein funktioniert das Wurzelziehen so (ich erzähle dir vermutlich nichts neues):
Sei a = |a|*cis(a).
Dabei ist die Funktion cis durch
cis(j) := cos j + i*sin j
definiert.
Das kannst du einfach als mnemotechnisch geschickt
gewählte Abkürzung verstehen, es ist aber natürlich
nichts anderes als eji. Immerhin gilt nach de Moivre die Funktionalgleichung
cis(j+y) = cis(j)*cis(y),
woraus induktiv
cis(nj) = [cis(j)]n , n € Z
folgt. Ferner ist cis 2p-periodisch:
cis(j+2kp) = cis(j), k € Z.
Um nun die Gleichung zn = a zu lösen,
setzen wir z = r*cis(j) und haben
rn=|a| , cis(nj) = cis(a) <=>
r = |a|1/n , j = a/n+2kp/n ,
k = 0,...,n-1.
Für n=2, a=i erhältst du die obigen Werte für sqrt(i).
Quadratwurzeln kann man natürlich auch rein algebraisch berechnen, indem man a= b+ci ,
z = x+yi schreibt. Dann gilt
z2=a <=> x2-y2= b & xy= c/2.
Das führt für x,y auf die biquadratischen Gleichungen
x4 - bx2 - (c/2)2 = 0 ,
y4 + by2 - (c/2)2 = 0.
Da x,y reell sind, sind nur die Lösungen
x= ± sqrt[(b+|a|)/2], y = ± sqrt[(-b+|a|)/2]
zulässig ( |a| = sqrt(b2+c2) ). Es gibt 4 mögliche
Vorzeichenkombinationen, man hat aber zu beachten,
dass sign(xy) = sign(c) sein muss.
Probiere das mal bei deinem Zahlenbeispiel aus !
mfG Orion
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 740
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2003 - 17:28: |
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Fortsetzung :
Auch die Kubikwurzeln aus i lassen sich rein algebraisch ermitteln :
z3 - i =
(z+i)(z2-iz-1) =
(z + i)[(z-i/2)2 - 3/4].
Die 3 Lösungen von z3 = i sind somit
z1 = - i , z2 = (sqrt(3)+i)/2 , z3 = (- sqrt(3) + i)/2
(Beitrag nachträglich am 29., Dezember. 2003 von Orion editiert)
mfG Orion
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