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Grenzwertberechnung

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Stylar (Stylar)
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Junior Mitglied
Benutzername: Stylar

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 16:53:   Beitrag drucken

Hallo.

Ich soll lim mit x->0 von(1/x - 1/sinx) berechnen.

Da sinx = sqrt(cos²x-1) habe ich das zu x^(-1) - (cos²x-1)^(-1/2) umgeformt. Aber irgendwie bringt mir das auch noch keine Erkenntnis. Kann mir jemand helfen???
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1873
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 17:24:   Beitrag drucken

(sinx - x)/(x*sinx)
L'Hosp.
(cosx - 1)/[sinx + x*cosx]
L'Hosp.
-sinx/[cosx + (cosx - x*sinx)]
0/2
lin{x-->0}(1/x - 1/sinx) = 0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 327
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 17:33:   Beitrag drucken

Hi,

limx->01/x-1/sin(x)

=limx->0(sin(x)-x)/(x*sin(x))

=limx->0(cos(x)-1)/(x*cos(x)+sin(x))

=limx->0(-sin(x)/(2*cos(x)-x*sin(x))

=0


Gruß,Olaf
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Stylar (Stylar)
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Junior Mitglied
Benutzername: Stylar

Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 18:36:   Beitrag drucken

Erstmal danke für eure Mühen. Aber so darf ich das leider nicht lösen, da wir den L´Hospital noch nicht in der Vorlesung hatten. Kann man das auch noch irgendwie anders lösen?
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 328
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 21:27:   Beitrag drucken

Hi,

Das würde mich auch interessieren.Mir ist es auf Anhieb jedenfalls nicht gelungen,aber das
hat nicht zu sagen.:-)


Gruß,Olaf
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Stylar (Stylar)
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Junior Mitglied
Benutzername: Stylar

Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 21:35:   Beitrag drucken

Ich hab mir eben sagen lassen, dass das wohl mit der Restgliedabschätzung funktionieren könnte. Werd mir die dann wohl zu Gemüte führen müssen, hatte sie quasi verdrängt. In 2 Wochen weiß ich dann, wie es hätte gehen sollen...
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Brainchild (Brainchild)
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Benutzername: Brainchild

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 23:21:   Beitrag drucken

Hallo, ich versuche es auch mal:

Nach Restgliedabschätzung gilt für x € [0;2] :

1.) |sin(x)-x|<= x^3/6

=> sin(x) >= x-x^3/6
= x*(1-x^2/6)
>= x*(1-4/6) <--( wegen x €[0;2] )
= x/3

2.) Jetzt benutzen wir Epsilon ( im folenden: eps)
Delta (im folgenden: d) Definition des
Funktionsgrenzwertes :

{Wiederholung der Def.:
f(x)->a für x->xo
:<=> für alle eps>0 existiert d>0, so daß für alle x aus Definitionsbereich ohne x0 gilt: |x-x0|<d => |f(x)-a|<eps}
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Brainchild (Brainchild)
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Neues Mitglied
Benutzername: Brainchild

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 23:28:   Beitrag drucken

Hier ist der Rest hab ausversehen schon gesendet:

Also zu 2.)

|x-0|=|x|<=d ; d:=2*eps

Es gilt:

|1/x-1/sin(x)|=|(sin(x)-x)/x*sin(x)|
<=|(x^3/6)/x*(x/3)|
=|x/2|
<= d/2 < eps

Und fertig.
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 838
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 23:35:   Beitrag drucken

Hallo,

es geht sehr schön mit der Potenzreihenentwicklung des Sinus'. Zuerst formen wir noch um:

1/x - 1/sinx = (sinx - x)/(x*sinx) = ((sinx)/x - 1)/sinx =

Nun setzen wir die bekannte Reihe für

sinx = x - x³/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ..... und erhalten:

= (1 -x²/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7! + ... - 1)/(x - x³/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + .....) =

[Im Zähler heben sich die beiden 1 auf]
Wir dividieren jetzt noch Zähler und Nenner durch x:

= (x/3! + x³/5! - (x^5)/7! + ...)/(1 - x²/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7! + .....)

Der Grenzübergang für x -> 0 geht jetzt sehr leicht, denn alle x-Glieder werden zu Null und im Nenner bleibt 1!

lim [x -> 0][...] = 0/1 = 0

Gr
mYthos
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 329
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 19. Dezember, 2003 - 15:25:   Beitrag drucken

Hi,

Vielen Dank an Brainchild und Mythos!


Gruß,Olaf

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