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Kann die Lösung nicht finden

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Hannach (Hannach)
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Neues Mitglied
Benutzername: Hannach

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 15:50:   Beitrag drucken

Bitte, bitte, brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:
A sei eine mxn Mtx vom Rang m-2 über dem Körper F2. Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem
Ax = b für genau ein Viertel aller möglichen Spaltenvektoren b aus F2 hoch m lösbar ist}
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 953
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Dezember, 2003 - 15:29:   Beitrag drucken

Hi!

Das soll nur eine Beweisidee sein:
Fasst man die Spalten einer Matrix vom Rang m-2 als Erzeugendensystem eines Vektorraums auf, dann hat dieser Vektorraum die Dimension m-2.
Um einen Vektor aus F2m zu erzeugen bräuchte man aber die Dimension m. Im F2m gibt es 2m solcher Vektoren.
Lässt man nun o.B.d.A. die beiden unteren Einträge eines solchen Vektors weg, dann passt er in unseren (m-2)-dimensionalen Raum und lässt sich dann auch mit den Spalten unserer Matrix erzeugen, was gleichbedeutend mit einer Lösung der LGS ist.
Für diesen Vektor gibt es aber 2m-2 = 2m * 1/4 Möglichkeiten, also ein Viertel aller möglichen Spaltenvektoren aus F2m.


MfG
Martin

(Beitrag nachträglich am 18., Dezember. 2003 von martin243 editiert)
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei

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