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D_morph (D_morph)
Junior Mitglied
Benutzername: D_morph
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Dezember, 2003 - 15:45: | 
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Hallo,
bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:
Gegeben ist eine beschränkte Folge (an) mit |an|<M (M reell und positiv)
Zu zeigen ist
a) die Reihe f(x) = S¥ n=1 anxn konvergiert für jedes x mit |x|<1
b) wenn a0¹0 ist, so ist f(x)¹0 für alle x mit 0<|x|<|a0|/(2M)
Kann man a) aus der Konvergenz der geometr. Reihe folgern, und wenn, wie geht das formal? Bei b) hab ich gar keinen Plan, allein schon, weil die Reihe doch erst bei n=1 losgeht.
Kann mir jemand helfen?
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 732
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Dezember, 2003 - 10:33: |
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D morph,
Vorschlag:
a) Es genügt zu zeigen, dass die Reihe absolut, d.h.
dass
S¥ n=0|an||x|n
konvergiert . Es ist aber
|an||x|n £ M |x|n
und die Beh. folgt durch Vergleich mit der konvergenten geometrischen Reihe
S¥ n=0|x|n.
b) Es soll wohl heissen : Wenn a0 ‡ 0 ist,
so ist f(x) ‡ 0 .... ?
Es ist f(x) = a0 + r(x) ,
r(x):=S¥ n=1 anxn =>
|r(x)| £ M |x|/(1-|x|)
Nun ist
M |x|/(1-|x|) < |a0|/2 <=> |x| < |a0|/(2M+|a0|).
Für diese x gilt also
|f(x)| = |a0+r(x)| > |a0| - |r(x)| > |a0|/2 > 0.
mfG Orion
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