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Quadratzahlen und Reste

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Kathrinschen (Kathrinschen)
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Neues Mitglied
Benutzername: Kathrinschen

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Montag, den 15. Dezember, 2003 - 08:10:   Beitrag drucken

Hallo!
Hab da mal wieder ein Problem:
1)
a)Kann die Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen wieder eine Quadratzahl sein?
b)Zeigen sie: Für beliebige n, m Element N gilt: Ist 3 Teiler von n-Quadrat+m-Quadrat, so teilt 3 sowohl n als auch m. (kann nicht formatieren!)

2)
a)Viele Studierende begrüßen es wegen des verlängerten Wochenendes, wenn der 1.Mai auf einen Freitag oder Montag fällt. 1998 war der 1.Mai ein Freitag. Was können Sie über das zukünftige Auftreten derartiger Glückjahre sagen?
b)Silke wurde am Samstag, den 15.Februar geboren. Wie alt könnte sie jetzt sein? Es reicht die Angabe in Jahren und sie ist nicht älter als 1oo.

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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 747
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Montag, den 15. Dezember, 2003 - 13:47:   Beitrag drucken

1a) n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)
Das ist eine Quadratzahl, wenn die Primfaktorzerlegung von n+1 eine ungerade Potenz von drei enthält und sonst nur gerade Potenzen.
Beispiele: n=2, n=11(4*3-1),n=74(25*3-1)

Hab gerade wenig Zeit, daher befasse ich mich nachher mit dem Rest. Sofern dann nicht schon jemand anderes die Lösung reingestellt hat.
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 749
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Dezember, 2003 - 00:01:   Beitrag drucken

Vereinfachung zu 1a) n=3m²-1 mit mÎIN

b) Betrachten wir die Reste modulo 3.
n=0/1/2 mod 3 => n²=0/1/1 mod 3
m=0/1/2 mod 3 => m²=0/1/1 mod 3
n²+m²=0 mod 3 => n²=0 mod 3 und m²=0 mod 3 => 3|n und 3|m
q.e.d
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Lsdxtc (Lsdxtc)
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Mitglied
Benutzername: Lsdxtc

Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 09-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Dezember, 2003 - 20:32:   Beitrag drucken

zu 2.b)
Es gibt da eine Formel, beschrieben bei Martin Gardner.

Der Samstag hat die Kennziffer 0.
Aus dem Datum 15. Februar ergibt sich die Zahl 19.
mod 7 ergibt sich also 5.

Die 2 Endziffern des Jahres sind durch 12 zu teilen.
Ergibt n Rest m.
m wird durch 4 geteilt und zu n addiert, der Rest von m wird vernachlässigt.

Der Februar bietet in Schaltjahren eine Besonderheit, da hier (glaube ich, bitte nochmal nachlesen, 1 Tag bzw. 1 addiert wird.)
Die Ziffer des Jahres muß also 2 bzw. in Schaltjahren 1 ergeben!
Da sie nicht älter als 100 ist ergibt sich als frühester Zeitpunkt 1903.
1903 geht somit nicht, auch ist es kein Schaltjahr.
1904 ist ein Schaltjahr aber es klappt nicht.
Somit müßte 1912 der erste mögliche Termin sein.
Der nächste dann 1913, wenn wie angenommen aufgrund eines Schaltjahres ein Tag addiert wird !
(Dies wäre nochmal nachzulesen !
Und nun viel Spass.
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Lsdxtc (Lsdxtc)
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Mitglied
Benutzername: Lsdxtc

Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 09-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Dezember, 2003 - 21:11:   Beitrag drucken

Berichtigung:
Es gibt, in diesem Sinne, ja eigentlich auch ein 0 Rest 4 das dann in einem Schaltjahr die fehlenden 2 ergibt.
Wer eine gute Bibliothek hat sollte doch bitte für Aufklärung sorgen !
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 946
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Dezember, 2003 - 23:06:   Beitrag drucken

Hi!

Meine Lösung sieht so aus:

Wir gehen vom 15.2.2003 aus, einem Samstag.
Wir kodieren die Wochentage Sonntag-Samstag mit den Zahlen 0-6.
Nun befinden wir uns glücklicherweise in einem Zeitraum, in dem ausnahmslos jedes vierte Jahr ein Schaltjahr ist, so dass wir eine relativ einfache Formel aufstellen können:
T(j) = (6 - (2003-j) - [(2003+1-j)/4]) mod 7, wobei j die Jahreszahl ist und T(j) den Wochentag des 15.2. des Jahres j in obiger Kodierung liefert.
Wir erhalten für j=2003: T(2003) = (6 - 0 - [1/4]) mod 7 = 6 mod 7 = 6
und für die Jahre davor wird für jedes Jahr 1 subtrahiert und für jedes durch 4 teilbare Jahr nochmal 1 zusätzlich.

Man kann es auch etwas vereinfachen zu:
T(j) = (5 + j - [(16-j)/4]) mod 7

Und nun finde man Jahre j, 1903£j£2003 mit T(j)=6 !

Man könnte nun j der Form j=1900+(4n+1) betrachten. Ist dann j³3, dann ist im Jahr (j+6-T(j)) ein solches Datum vorhanden, sonst springt man zum nächsten j.

Ich gebe mal an, welche Jahr wohl dann in Frage kämen:
{1908, 1913, 1919, 1930, 1936, 1941, 1947, 1958, 1964, 1969, 1975, 1986, 1992, 1997, 2003}


MfG
Martin

(Beitrag nachträglich am 17., Dezember. 2003 von martin243 editiert)
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei

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