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Beitrag |
    
Sadi (Sadi)
Junior Mitglied
Benutzername: Sadi
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 10:12: | 
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Zeigen Sie, dass n Geraden die Ebene in (N²+N+2)/2
Gebiete zerlegt, falls keine zwei Geraden parallel sind und keine drei Geraden durch einen Punkt gehen. |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 938
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Dezember, 2003 - 21:06: |
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Hi!
Induktionsanfang (n=1):
Es ist klar, dass eine Gerade die Ebene in 2 Teile zerlegt. Es gilt tatsächlich:
(n² + n + 2)/2 = (1² + 1 + 2)/2 = 4/2 = 2
Induktionsvoraussetzung:
n Geraden teilen die Ebene in (n² + n + 2)/2 Gebiete.
Induktionsschritt:
Wir fügen nun die (n+1)-te Gerade hinzu. Wir können o.B.d.A. voraussetzen, dass alle Schnittpunkte der ersten n Gerade auf einer Seite der neuen Geraden liegen. Nennen wir also dieses Gebiet G1. Wir wissen also, dass Gebiet G1 nach Voraussetzung (n²+n+2)/2 Gebiete enthält.
Nun betrachten wir Gebiet G2, dass auf der anderen Seite der neuen Geraden liegt.
Da alle Geraden nichtparallel sind, verlaufen die n alten Geraden auch durch G2, schneiden sich dort aber nicht. Das bedeutet, dass G2 von ihnen in n+1 Gebiete zerlegt wird, da durch jede Gerade genau eine Gebiet hinzukommt und eine einzelne Gerade genau zwei Gebiete erzeugt.
Wir erhalten also insgesamt:
Gebiete = Gebiete in G1 + Gebiete in G2
= (n²+n+2)/2 + (n+1) = (n²+n+2)/2 + (2n+2)/2
= (n² + 3n + 4)/2 = ((n²+2n+1) + (n+1) + 2)/2
= ((n+1)² + (n+1) + 2)/2 q.e.d.
MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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