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reihen

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Shan22 (Shan22)
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Neues Mitglied
Benutzername: Shan22

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 19:00:   Beitrag drucken

kennt sich jmd mit reihen aus?
wie berechnet man folgendes:

a) Summenzeichen n=0 bis unendlich (-1)^n/2^n

b) Summenzeichen n=0 bis unendlich 1/(4n^2-1)
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 217
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 21:49:   Beitrag drucken

Hi Shan,
die a kannst du mit der normalen Potenzformel erschlagen, setz einfach p=-1/2, der Grenzwert ist bekanntlich 1/(1-p).
Bei der b kannst du im Nenner die 3. binomische Formel anwenden. Wenn du das als Differenz schreibst, bekommst du eine Folge, deren Glieder sich gegenseitig wegheben: (1/(2n-1)-1/(2n+1))/2
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3189
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 22:09:   Beitrag drucken

Hi



Teilaufgabe b)

Zerlege das allgemeine Glied an in Partialbrüche.
Das geht so:


an =1/(4n²-1) = 1/((2n-1)(2n+1)) = A/(2n-1) + B/(2n+1)

=> 1 = A(2n+1)+B(2n-1) = 2n(A+B)+A-B
=> A=-B=1/2

Jetzt hilft die Summation der
entsprechenden endlichen Reihe von
n = 1 bis N mit Hilfe des
Teleskopverfahrens.

Das geht so:
Mit an = ½ {1/(2n-1) - 1/ (2n+1) }entsteht die Summe
½ {1/1 - 1/3 +1/ 3 - 1/ 5 +…+ 1 / (2N -1) -1/( 2N + 1)}
= ½ { 1 - 1/ [ (2 N+1)}
Für N gegen unendlich geht dies gegen ½,
und das ist die Summe der unendlichen Reihe für
n = 1 bis unendlich.

Beginnt die Summation mit n = 0, so ist das erste Glied -1
zu addieren, sodass das Resultat - ½ ist.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1848
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Dezember, 2003 - 22:14:   Beitrag drucken

a) ist eine geometrische Reihe mit dem
Faktor (-1/2)

b)wird nach Partialbruchzerlegung
(
1/(4n^2 -1) = (1/(2n-1) - 1/(2n+1))/2
)
wohl zu
einer Teleskopsumme ( wegen 2n+1 = 2(n+1)+1 )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Shan22 (Shan22)
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Junior Mitglied
Benutzername: Shan22

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Dezember, 2003 - 00:30:   Beitrag drucken

das is ja ziemlich kompliziert...zumindest für anfänger..

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