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Stylar (Stylar)
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Junior Mitglied
Benutzername: Stylar

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 18:56:   Beitrag drucken

Hallo.

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

Welche der reellen Matizen sind ähnlich?
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9

B=
1 0 1
1 1 1
1 0 1

C=
1 0 0
0 1 1
0 0 1

D=
1 1 1
2 2 2
0 0 0

Ich habe als Hilfestellung nur die Definition der Ähnlichkeit:
Zwei Matrizen A und B € M(n,n,K) heißen ähnlich, falls es eine invertierbare Matrix U € M(n,n,K) gibt für die gilt U * A * U^(-1) = B.

Aber was bringt mir das denn in diesem Fall?! Soll ich mir das U bzw. U^(-1) irgendwoher zaubern???

Ich habe jetzt den Rang der einzelnen Matrizen überprüft - rg(A)=2, rg(B)=2, rg(C)=3, rg(D)=1, hoffe mal, das ist richig... - aber ich weiß um ehrlich zu sein nicht, warum genau ich das getan habe...

Kann mir mal bitte jemand weiter helfen???

Stylar
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 935
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 08:46:   Beitrag drucken

Hi!

Ich gebe zu, dass ich die endgültige Lösung nicht weiß, aber ich vermute mal, dass keine der Matrizen ähnlich zu einer anderen ist.

Ich fange mal so an:

U muss den Rang 3 haben, also det U¹0, damit sie invertierbar ist.

Wir haben also eine reguläre Matrix U. Damit ist das Produkt von U und einer Matrix X mit Rang x wiederum eine Matrix mit Rang x. Das bedeutet, dass zwei ähnliche Matrizen denselben Rang haben müssen, denn:
UAU-1 = B ist äquivalent zu:

UAU-1U = BU , was wiederum äquivalent ist zu:

UA = BU.


Es kommen nun also nur A und B in Frage, denn dies sind die einzigen Matrizen mit demselben Rang.

Die Gleichung UA = BU könntest du nun benutzen und versuchen, A und B in dieselbe Matrix umzuformen und zwar auf folgende Weise:
Auf A wendest du nur Zeilenumformungen an, während du auf B nur Spaltenumformungen anwendest.
Du musst auf B genau die Spaltenumformungen anwenden, die den Zeilenumformungen von A entsprechen, allerdings in umgekehrter Reihenfolge.
Wenn du das schaffst, kannst du jeder Zeilen-/Spaltenumformung mit einer Multiplikation mit einer Elementarmatrix identifizieren und bekommst U, indem du das Produkt all dieser Elementarmatrizen bildest.

Aber die Aussichten stehen nicht so gut, glaube ich...

Falls du doch etwas herausbekommst oder schon die Lösung weißt, kannst du es ja hier posten.


MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei

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