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Eva191105 (Eva191105)
Junior Mitglied
Benutzername: Eva191105
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 19:24: | 
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N´Abend!
Hab ein Problem mit der folgenden Aufgabe:
für r € IR sie A(r) € M(n,n,IR) die Matrix
1 ... r ... r²
r² ... r ... 1
r ... r² ... 1.
Bestimme den Rang dieser Matrix in Abhängigkeit von r € IR.
Hab die Matrix zuerst - hoffentlich richtig - umgeformt:
1 ........ r ........ r²
0 .... (-r³+r) ... (-r^4+1)
0 ........ 0 ........ (-r³+1)
(Die Pünktchen stehen da nur, damit man die Form noch annähernd erkennen kann...)
Dann habe ich überlegt, dass rg(A(r))=3 gilt, wenn:
-r³+1 ungleich 0 und -r³+r ungleich 0 gilt. Also wäre rg(A(r))=3 für alle r € IR{-1,0,1}. Stimmt das so?
Jetzt wirds dann komplizierter. rg(A(r))=2, wenn entweder 1)
-r³+r ungleich 0 und -r³+1 = 0 gilt. Das geht aber nicht, da r gleichzeitig 1 und ungleich 1 sein müßte.
oder aber wenn 2)
r ungleich 0 und -r^4+1 ungleich 0 gilt, gleichzeitig aber -r³+r=0 und -r³+1=0 gilt. Der "Aber"-Satz gilt nur, wenn r=1 ist. Dann gilt aber der 1. Teil des Satzes nicht mehr.
Also ist ein Rang von 2 nicht möglich.
rg(A(r))=1, wenn r ungleich 0, r ungleich 1 und r ungleich -1 gilt.
Ist das so annähernd richtig? Wie formuliert man das jetzt mathematisch korrekter? KLingt sehr schief...
Danke!
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 213
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 23:54: |
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Hi,
deine Umformung stimmt schonmal. Auf der Hauptdiagonale hast du die Werte 1, r(1-r^2) und 1-r^3 stehen, also bist du für alle r ausserhalb der Nullstellen {-1,0,1) mit Rg=3 fertig und musst dir die Matrix nur noch an den drei Stellen genauer ansehen. Dazu würde ich mir aber nicht viel theoretisch überlegen, sondern einfach die drei Matrizen konkret hinschreiben, dann kannst du den Rang leicht ablesen. |
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