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Lisette (Lisette)
Mitglied
Benutzername: Lisette
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 08:54: | 
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Hallo
Ich habe eine Aufgabe zu lösen, bei der ich leider die
Methode nicht kenne.
Es geht um die Ermittlung der Summe einer unendlichen Reihe,
deren allgemeines Glied an so gegeben ist:
an = sin (nx) / 2^n; der Summationsindex n läuft von n = 0
bis unendlich.
Wer kann mir helfen?
Herzlichen Dank im Voraus.
Lisette
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1839
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 10:43: |
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reicht das
erstmal?
(2 Geometrische Reihen,
Faktoren eix/2
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3178
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 10:46: |
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Hi Lisette,
Dir kann schon geholfen werden!
Ich löse Deine Aufgabe sogar etwas allgemeiner und umfassender,
mit der Auflage, dass Du Dir die dargestellte Methode im HK gut
speicherst.
Sei a(n) = r^n * cos (nx) mit 0 < r < 1, x €R
b(n) = r^n * sin (nx) mit 0 < r < 1, x €R
a(n) und b(n) sind die allgemeinen Glieder unendlicher Reihen,
deren Summationsindex von n = 0 bis unendlich läuft.
Die Konvergenz ist unter den angegebenen Bedingungen gesichert;
die Summen seien A und B, beide sind je abhängig von r und x.
Wenn Du im Ergebnis B der zweiten Reihe r = ½ wählst, so
erscheint das gesuchte Resultat Deiner Aufgabe.
Wir fassen a(n) und b(n) zusammen zur einer komplexen Zahl
z(n):
z(n) = a(n) + i b(n) = r ^ n [ cos(nx) + i sin(nx) ]; mit Hilfe der
Formel von Euler e^(ix) = cos x + i sin (x) entsteht:
z(n) = r ^ n * e ^ ( i n x) = [ r e^ (i x)] ^ n.
Nun summieren wir z(n), n = 0 ad infinitum.
Es entsteht eine unendliche geometrische Reihe mit der Summe Z:
Z = sum [z(n)] = 1 + r e^ (i x ) + r^2 [e^(ix) ] ^2 + ……
Anfangsglied 1 , Quotient q = r * e ^ ( i x)
Nota bene: die Konvergenzbedingung abs (q) < 1 ist erfüllt.
Nach der Formel für die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe
entsteht:
Z = 1 / (1 – q ) = 1 / [1 – r e ^ (i x) ].
Jetzt geht es „nur“ noch darum, die komplexe Zahl Z so umzuformen,
dass im Nenner eine reelle Zahl steht, damit wir Z bequem in den Realteil Re
und in den Imaginärteil Im zerlegen können.
Wir erweitern den Bruch Z = 1 / [1 – r e ^ (i x) ] = 1 / [(1 - r cos x) – i r sin x]
mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, d.h. mit
(1 - r cos x) + i r sin x.
Im (neuen) Nenner steht nach dem Erweitern das Quadrat des Betrages,
die so genannte Norm N der Zahl.
Wir berechnen N:
N = [(1 - r cos x) – i r sin x] [(1 - r cos x) + i r sin x] =
= (1 - r cos x) ^ 2 + r^2 (sin x ) ^2 =
= 1 – 2 r cos x + r^2 (cos x)^2 + r^2 (sin x )^2 = 1 + r^2 – 2 r cos x
Wir erhalten damit::
Z = [(1 - r cos x) + i r sin x] / [1 + r^2 – 2 r cos x]
Der Realteil Re dieser Zahl stimmt mit der gesuchten Summe A überein,
der Imaginärteil Im mit der gesuchten Summe B:
A = Re(Z) = sum[an] = (1 - r cos x) / N = (1 - r cos x) / (1+r ^ 2 – 2 r cos x)
B = Im(Z) = sum[bn] = r sin x / N = r sin x / (1 + r ^ 2 – 2 r cos x)
Setze nun in der zweiten Zeile r = ½ ein, so kommt das Resultat Li
Deiner Aufgabe:
Li = 2 sin x / { 5 – 4 cos x}
Bravo! Der Nenner wird niemals null.
Prüfe mit MAPLE oder DERIVE nach!
Alles löst sich in Minne auf!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 990
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 16:49: |
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Hi megamath,
da kann man wieder nur staunen! Eine sehr schöne Methode! Wo holst du nur immer solche "Schätzchen" her??
So etwas hab ich bis jetzt in keinem Lehrbuch gefunden! Sind das deine eigenen Methoden?
mfg
(Beitrag nachträglich am 08., Dezember. 2003 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3179
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Dezember, 2003 - 20:19: |
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Hi Ferdi,
Besten Dank für Dein Interesse !
Das sind nicht von mir erfundene Methoden.
Irgendwo kam Aehnlches vor, und ich erinnere mich dann vage daran.
Die Methoden ergeben sich fast von selbst,wenn man mit der Materie vertraut ist
und einige (langjährige) Erfahrungen, positive und negative,
gesammelt hat und diese reaktiviert.
Ich gebe die erfolgreichen Methoden gerne weiter.So bringen sie den grössten Nutzen.
Manchmal hat man ganz einfach Glück mit Einfällen,die zum Ziel führen;
erzwingen lässt sich dabei nichts.
Warten wir auf weitere Ideen!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Lisette (Lisette)
Mitglied
Benutzername: Lisette
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Dezember, 2003 - 16:04: |
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Hallo megamath !
Ganz herzlichen Dank für Deine ausführliche
und sehr lehrreiche Antwort
Ich bin begeistert!
Herzliche Grüsse
Lisette |
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sinsum
