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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3169 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 13:55: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 131 geht es um die Bestimmung eines Grenzwertes einer unendlichen Folge. Das allgemeine Glied der Folge lautet: a(n) = (n!) ^ (1/n) / n Man berechne den Grenzwert A = lim a(n) für n gegen unendlich unter Angabe der benützten Sätze über unendliche Folgen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 984 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 14:35: |
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Hi megamath, das müsste mit der Abschätzung von n! von Stirling gehen, glaube ich. Muss das später mal genauer betrachten, aber es sieht gut aus! mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 986 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 15:29: |
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Hi, Meine Vermutung nachdem einsetzen einiger Werte war, der Grenzwert von a(n) sei 1/e. Also das müsste passen: nach Stirling gilt für n -> inf n! ~ (n/e)^n * sqrt(2 * pi * n) ~ bedeutet asymptotisch gleich Da für a(n) auch n-> inf gesucht ist können wir das ruhig anwenden! a(n) = 1/e * (sqrt(2*pi*n))^(1/n) a(n) = 1/e * (2*pi*n)^(1/2n) Der hintere Term ist die 2nte Wurzel aus 2*pi*n und das ist geht für n -> inf gegen 1! Es bleibt für n -> inf nur noch 1/e, wie vermutet! a(n) = (n!)^(1/n)/n für n->inf = 1/e mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3171 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 15:40: |
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Hi Ferdi Das ist alles vollständig richtig ! Ein Laie wird dich allerdings fragen,wohin Pi gegangen ist,hihi! Ich hatte einen anderen Lösungsweg im Sinne,den ich gelegentlich vorführen werde. Meine Methode benützt einen Hilfssatz,der aus dem Grenzwertsatz von Cauchy hergeleitet werden kann. Bis später! MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 987 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 15:46: |
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Hi, Pi habe ich nach Wien geschickt, zu den Freunden dieser Zahl . Leider kenne ich diesen Hilfssatz nicht, ich kann nur Sachen anwenden die mir auch bekannt sind! Daher freue ich mich schon auf deine Herleitung! mfg |
Elsa13 (Elsa13)
Fortgeschrittenes Mitglied Benutzername: Elsa13
Nummer des Beitrags: 51 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 15:50: |
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@ pi: Herzlich Willkommen in Wien! Grüße von ebenda elsa |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3172 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 16:12: |
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Ja,so ist es Pi nimmt im Kreise dieser Freunde an einem PIzaessen (314 verschiedene Sorten) teil und dankt für den Willkommensgruss!* MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3174 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 10:14: |
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Hi Nachdem Pi im Kreise seiner Freunde so herzlich empfangen worden ist und damit für einige Zeit absorbiert sein wird, sende ich meine Lösungsvariante dieser sehr schönen Aufgabe. Meine Lösung basiert auf dem bekannten (?) Grenzwertsatz von Cauchy. Dieser lautet: {Ak} sei eine strikt monoton ins Unendliche wachsende Folge positiver Zahlen: 0<A1<A2<A3….<Ak strebt gegeben unendlich für k gegen unendlich. ak ist eine beliebige Zahlenfolge. Es gelte: [a(k+1) – a(k) ] / [A(k+1) – A(k)] strebt gegen den Grenzwert g für k gegen unendlich. Behauptung: Es gilt auch: a(k) / A(k) strebt gegen g für k gegen unendlich. Aus diesem Satz folgt ein Hilfssatz als Sonderfall, indem Ak durch k und ak durch ln (ak) ersetzt werden (Herleitung auf Wunsch). Gilt für eine Folge positiver Zahlen ak a(k+1) / a(k) strebt gegen den Grenzwert g für k gegen unendlich, dann gilt: Der Grenzwert der n-ten Wurzel aus ak für k gegen unendlich ist ebenfalls g. Nun gehen wir zu unserem Beispiel mit dem Folgeglied f(n) = (n!) ^ (1/n) / n = [ n! / n^n] ^ (1/n) zurück und verwenden den Radikanden der n-ten Wurzel als Folgeglied a(n) des Hilfssatzes. Wir setzen im Hilfssatz also a(n) =[ n! / n^n ] und berechnen den Grenzwert lim [a(n+1) / a(n) ] ; wir erhalten nach leichter Umformung des Quotienten als Grenzwert 1/e, womit die Aufgabe LF 131 ohne Einsatz der Formel von Stirling gelöst ist. Bravo! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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