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Lockere Folge 131: Grenzwert einer u...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Lockere Folge 131: Grenzwert einer unendlichen Folge « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3169
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 13:55:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 131 geht es um die Bestimmung eines Grenzwertes
einer unendlichen Folge.

Das allgemeine Glied der Folge lautet:
a(n) = (n!) ^ (1/n) / n
Man berechne den Grenzwert A = lim a(n) für n gegen unendlich
unter Angabe der benützten Sätze über unendliche Folgen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 984
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 14:35:   Beitrag drucken

Hi megamath,

das müsste mit der Abschätzung von n! von Stirling gehen, glaube ich. Muss das später mal genauer betrachten, aber es sieht gut aus!

mfg
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 986
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 15:29:   Beitrag drucken

Hi,

Meine Vermutung nachdem einsetzen einiger Werte war, der Grenzwert von a(n) sei 1/e.

Also das müsste passen:

nach Stirling gilt für n -> inf

n! ~ (n/e)^n * sqrt(2 * pi * n)

~ bedeutet asymptotisch gleich

Da für a(n) auch n-> inf gesucht ist können wir das ruhig anwenden!

a(n) = 1/e * (sqrt(2*pi*n))^(1/n)
a(n) = 1/e * (2*pi*n)^(1/2n)

Der hintere Term ist die 2nte Wurzel aus 2*pi*n und das ist geht für n -> inf gegen 1! Es bleibt für n -> inf nur noch 1/e, wie vermutet!

a(n) = (n!)^(1/n)/n für n->inf = 1/e

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3171
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 15:40:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Das ist alles vollständig richtig !
Ein Laie wird dich allerdings fragen,wohin
Pi gegangen ist,hihi!
Ich hatte einen anderen Lösungsweg im Sinne,den ich gelegentlich vorführen werde.
Meine Methode benützt einen Hilfssatz,der aus dem Grenzwertsatz von Cauchy hergeleitet werden kann.

Bis später!

MfG
H.R.Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 987
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 15:46:   Beitrag drucken

Hi,

Pi habe ich nach Wien geschickt, zu den Freunden dieser Zahl .

Leider kenne ich diesen Hilfssatz nicht, ich kann nur Sachen anwenden die mir auch bekannt sind! Daher freue ich mich schon auf deine Herleitung!

mfg
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Elsa13 (Elsa13)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 15:50:   Beitrag drucken

@ pi:

Herzlich Willkommen in Wien!

Grüße von ebenda
elsa
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3172
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 16:12:   Beitrag drucken

Ja,so ist es
Pi nimmt im Kreise dieser Freunde an einem PIzaessen (314 verschiedene Sorten) teil
und dankt für den Willkommensgruss!*
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3174
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Dezember, 2003 - 10:14:   Beitrag drucken

Hi

Nachdem Pi im Kreise seiner Freunde so herzlich empfangen worden
ist und damit für einige Zeit absorbiert sein wird, sende ich meine
Lösungsvariante dieser sehr schönen Aufgabe.

Meine Lösung basiert auf dem bekannten (?) Grenzwertsatz von Cauchy.
Dieser lautet:

{Ak} sei eine strikt monoton ins Unendliche wachsende Folge
positiver Zahlen:
0<A1<A2<A3….<Ak strebt gegeben unendlich für k gegen unendlich.
ak ist eine beliebige Zahlenfolge.
Es gelte:
[a(k+1) – a(k) ] / [A(k+1) – A(k)] strebt gegen den Grenzwert g
für k gegen unendlich.
Behauptung:
Es gilt auch:
a(k) / A(k) strebt gegen g für k gegen unendlich.

Aus diesem Satz folgt ein Hilfssatz als Sonderfall, indem Ak durch k
und ak durch ln (ak) ersetzt werden
(Herleitung auf Wunsch).

Gilt für eine Folge positiver Zahlen ak
a(k+1) / a(k) strebt gegen den Grenzwert g für k gegen unendlich,
dann gilt:
Der Grenzwert der n-ten Wurzel aus ak für k gegen unendlich
ist ebenfalls g.

Nun gehen wir zu unserem Beispiel mit dem Folgeglied
f(n) = (n!) ^ (1/n) / n = [ n! / n^n] ^ (1/n) zurück und
verwenden den Radikanden der n-ten Wurzel als
Folgeglied a(n) des Hilfssatzes.
Wir setzen im Hilfssatz also
a(n) =[ n! / n^n ] und berechnen den Grenzwert
lim [a(n+1) / a(n) ] ; wir erhalten nach leichter Umformung des
Quotienten als Grenzwert 1/e, womit die Aufgabe LF 131
ohne Einsatz der Formel von Stirling gelöst ist.
Bravo!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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