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Alternierende Reihe

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Alternierende Reihe « Zurück Vor »

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Elsa13 (Elsa13)
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Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 43
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 15:46:   Beitrag drucken

Hi,
hier ist noch ein Problemkind,
bei dem ich nicht weiterkomme und mich sehr über Hilfe freue:


Summe (0 bis unendlich)
{( -1) ^ [n/2]}* 1/(n+1)

wobei die eckige Klammer die Gauß-Klammer bedeutet, also größtes Ganzes von…
Zu untersuchen ist das Konvergenzverhalten.

liebe Grüße
elsa
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 187
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Dezember, 2003 - 22:38:   Beitrag drucken

Hi Elsa,
fass doch die Summanden in Viererpäckchen zusammen, dann siehst du am besten was los ist: Der Vorzeichenterm wechselt nach je zwei Gliedern, d.h. man hat lauter Teilsummen der Form
1/(n+1) + 1/(n+2) - 1/(n+3) - 1/(n+4) oder umsortiert
2/((n+1)*(n+3)) + 2/((n+2)*(n+4)) und die konvergieren beide.
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Elsa13 (Elsa13)
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Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 47
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 04:02:   Beitrag drucken

Danke Sotux!
so einfach ist das ...

liebe Grüße
elsa
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Elsa13 (Elsa13)
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Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 15:59:   Beitrag drucken

...aber nun taucht die Frage auf:
Darf ich das überhaupt, so ohne weiteres umordnen?
Und wenn ja, wie lautet die korrekte Begründung?

liebe Grüße
elsa
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 188
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 22:50:   Beitrag drucken

Hi Elsa,

gute Frage ! So ganz ohne Vorsicht darf man sowas tatsächlich nicht machen. Wir sind aber in diesem Fall auf der sicheren Seite: Wir haben ja nur wenige Werte lokal zusammengefasst, und die Absolutbeträge gehen schön monoton gegen Null. Wenn du eine mehr formale Argumentation bevorzugst, wie wärs mit der folgenden Epsilontik:
Sei eps>0 beliebig, dann existiert zu eps/5 ein ein n1, so dass die Partialsummen der Viererblöcke für n>=n1 alle in der eps/5 Umgebung des Grenzwertes liegen. Weiter existiert ein n2 so dass 1/(n+1)<eps/5 für alle n>=n2. Wenn ich nun neps=max(n1,n2) wähle, dann ist der Abstand vom Grenzwert für alle Partialsummen mit n>=neps kleiner als eps (Dreiecksungleichung mit der nächstgelegenen Vierersumme).

Alternativ könnte man auch nur je zwei Glieder zusammenfassen; da gibt es einen schönen Satz über die Konvergenz von alternierenden Reihen, deren Absolutbeträge monoton gegen 0 fallen, kennt ihr den ? Das ist fast noch eleganter und epsilonfrei !
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Elsa13 (Elsa13)
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Mitglied
Benutzername: Elsa13

Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 12-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 03:49:   Beitrag drucken

Hi Sotux,

zuerst einmal danke für die Antwort!
Ich denke drüber nach und melde mich später wieder.
Die wesentlichen Sätze kenne ich so ziemlich alle, nur mit der Anwendung hapert es!

liebe Grüße
elsa

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