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Sadi (Sadi)
Junior Mitglied Benutzername: Sadi
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 11:12: |
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Seien die natürlichen Zahlen von 1 bis 10 in beliebiger Reihenfolge im Kreis angeordnet, Beweisen Sie, dass es dann 3 nebeneinander stehende Zahlen gibt, deren Summe mindestens 17 ist.Verallgemeinern Sie die Behauptung auf die Zahlen von 1 bis n und k < n nebeneinander stehende Zahlen |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1823 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 11:43: |
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bin nicht ganz sicher: der Durchschnitliche Wert der Summe eines Tripesl ist 55*0,3 = 16,5, also muss es wenigstens eines geben, für das die Summe, natürlich ganzzahlig, > 16 ist . Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1523 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:25: |
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Sei a(1) die erste Zahl, a(2) die zweite Zahl, ..., a(10) die zehnte Zahl. Danach kommt wieder a(1), da es ein Kreis ist. Die zehn Summen, um die es geht, sind s(1) = a(1) + a(2) + a(3) s(2) = a(2) + a(3) + a(4) ... s(8) = a(8) + a(9) + a(10) s(9) = a(9) + a(10) + a(1) s(10) = a(10) + a(1) + a(2) Angenommen, s(i) <= 16 für i = 1,...,10. Dann ist s(1) + s(2) + .. + s(10) <= 16 + 16 + ... + 16 = 160 Andererseits ist s(1) + s(2) + .. + s(10) = [a(1) + a(2) + a(3)] + [a(2) + a(3) + a(4)] + ... + [a(10) + a(1) + a(2)] = 3*a(1) + 3*a(2) + ... + 3*a(10) = 3 * [a(1) + a(2) + ... + a(10)] = 3 * [1 + 2 + ... + 10] = 3 * 55 = 165 Insgesamt also 165 <= 160. Widerspruch! Verallgemeinerung: Sei A die maximale Summe von k nebeneinanderliegenden Zahlen. Wie oben muss gelten: s(1) + ... + s(n) = k*[1 + ...+ n] = k*n*(n + 1)/2 <= n*A Also A >= k*(n+1)/2 Somit: Seien die natürlichen Zahlen von 1 bis n in beliebiger Reihenfolge im Kreis angeordnet, Dann gibt es k nebeneinander stehende Zahlen, deren Summe mindestens k*(n+1)/2 ist. (Mit k=3 und n=10 erhältst du 3*(10+1)/2 = 16,5)
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1827 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:41: |
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also lag ich wohl richtig? Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1525 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:52: |
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Ja, sehe ich so. |
Sadi (Sadi)
Junior Mitglied Benutzername: Sadi
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 10:14: |
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ich danke euch ich hätte da noch ne frage ich habe versucht die verallgemeinerung der Behauptung durch induktion zu lösen wäre das auch richtig gewesen ? DANKE NOCH mals |
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