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natürlichen zahlen beweis

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Sadi (Sadi)
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Junior Mitglied
Benutzername: Sadi

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 11:12:   Beitrag drucken

Seien die natürlichen Zahlen von 1 bis 10 in beliebiger Reihenfolge im Kreis angeordnet, Beweisen Sie, dass es dann 3 nebeneinander stehende Zahlen gibt, deren Summe mindestens 17 ist.Verallgemeinern Sie die Behauptung auf die Zahlen von 1 bis n und k < n nebeneinander stehende Zahlen
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1823
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 11:43:   Beitrag drucken

bin nicht ganz sicher:

der Durchschnitliche Wert
der Summe eines Tripesl ist
55*0,3 = 16,5,
also
muss es wenigstens eines geben,
für das die Summe, natürlich ganzzahlig,
> 16 ist .
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1523
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:25:   Beitrag drucken

Sei a(1) die erste Zahl, a(2) die zweite Zahl, ..., a(10) die zehnte Zahl. Danach kommt wieder a(1), da es ein Kreis ist.

Die zehn Summen, um die es geht, sind
s(1) = a(1) + a(2) + a(3)
s(2) = a(2) + a(3) + a(4)
...
s(8) = a(8) + a(9) + a(10)
s(9) = a(9) + a(10) + a(1)
s(10) = a(10) + a(1) + a(2)

Angenommen, s(i) <= 16 für i = 1,...,10.

Dann ist
s(1) + s(2) + .. + s(10) <= 16 + 16 + ... + 16 = 160

Andererseits ist
s(1) + s(2) + .. + s(10)
= [a(1) + a(2) + a(3)] + [a(2) + a(3) + a(4)] + ... + [a(10) + a(1) + a(2)]
= 3*a(1) + 3*a(2) + ... + 3*a(10)
= 3 * [a(1) + a(2) + ... + a(10)]
= 3 * [1 + 2 + ... + 10]
= 3 * 55
= 165

Insgesamt also 165 <= 160. Widerspruch!

Verallgemeinerung:
Sei A die maximale Summe von k nebeneinanderliegenden Zahlen.

Wie oben muss gelten:
s(1) + ... + s(n)
= k*[1 + ...+ n]
= k*n*(n + 1)/2
<= n*A

Also
A >= k*(n+1)/2

Somit:
Seien die natürlichen Zahlen von 1 bis n in beliebiger Reihenfolge im Kreis angeordnet, Dann gibt es k nebeneinander stehende Zahlen, deren Summe mindestens k*(n+1)/2 ist.

(Mit k=3 und n=10 erhältst du 3*(10+1)/2 = 16,5)
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1827
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:41:   Beitrag drucken

also lag ich wohl richtig?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1525
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Dezember, 2003 - 21:52:   Beitrag drucken

Ja, sehe ich so.
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Sadi (Sadi)
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Benutzername: Sadi

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 05. Dezember, 2003 - 10:14:   Beitrag drucken

ich danke euch ich hätte da noch ne frage ich habe versucht die verallgemeinerung der Behauptung durch induktion zu lösen wäre das auch richtig gewesen ?

DANKE NOCH mals :-)

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