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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3109 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 09:21: |
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Hi allerseits Mit Aufgabe LF 119 komme ich auf die analytische Geometrie des Raumes zurück. Gegeben sind die Punkte S(1/2/3) und P(0/0/6) sowie die Ebene E : - x + y + z = 0. R ist die Spitze eines Rotationskegels mit E als Leitkreisebene. Für den halben Öffnungswinkel phi gilt: sin (phi) = 1/3 (phi: Winkel der Kegelachse mit einer Mantellinie). Man bestimme die Koordinatengleichungen der beiden Tangentialebenen des Kegels, die durch P gehen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3115 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 15:22: |
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Hi allerseits, In der Aufgaestellung ist ein Tippfehler virulent S ist die Spitze des Kegels, nicht R. R hat hier nichts zu suchen! Vielen Dank für den Hinweis MfG H.R.Moser,megamath |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 919 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 23:46: |
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Hi! Der Tippfehler macht nix! Ich habe mich bei der Aufgabe 100mal verschrieben und 1000mal verrechnet. Auch beim Ansatz haperte es. Zuerst habe ich versucht, den Lotfußpunkt von S aus auf die Ebene E zu berechnen, dann den Radius der Grundfläche des Kegels, seine Höhe etc... Aber ich glaube, ich hab's: Die Tangentenebenen haben meiner Meinung nach die folgenden Gleichungen: T1: x + y + z = 6 T2: 31x + y + 11z = 66 Ich versuche mal, meine Berechnungen in eine ordentliche Form zu bringen. Dann poste ich sie hier. MfG Martin (Beitrag nachträglich am 29., November. 2003 von Martin243 editiert) Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 920 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 02:08: |
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So, jetzt müsste es gehen! Wir wissen, dass der Winkel a zwischen den Ebenen E und T (Tangentialebene) gegeben ist durch: cos a = |n * m|/nm, wobei n bzw. m ein Normalenvektor der Ebene E bzw. T sein soll. In unserem Fall ist a=90°-f. Und da auch noch gilt: cos (90°-f) = sin f, können wir direkt schreiben: sin f = |n * m|/nm sin f kennen wir und n erhalten wir direkt aus der Ebenengleichung von E. Also setzen wir diese Werte ein und erhalten: 1/3 = |t(-1, 1, 1) * m|/mÖ3 <=> 1/3*Ö3 = |t(-1, 1, 1) * m|/m Da wir den Betrag von m nicht kennen, wollen wir gleich den Normaleneinheitsvektor m0 nehmen: <=> 1/3*Ö3 = |t(-1, 1, 1) * m0| Mit m=t(m1, m2, m3) erhalten wir Gleichung 1: 1/3*Ö3 = |m1 - m2 - m3| Da wir uns eben wir einen Einheitsvektor entschieden haben, lautet Gleichung 2}: m1² + m2² + m3² = 1 Die dritte Gleichung erhalten wir, wenn wir berücksichtigen, dass neben P (mit Ortsvektor p) auch S (mit Ortsvektor s) in der Ebene liegt: m0*s - m0*p = 0 <=> m0*(s - p) = 0 <=> t(m1, m2, m3) * t(1, 2, -3) = 0 So erhalten wir auch Gleichung 3: m1 + 2m2 - 3m3 = 0 Nun müssen wir die drei Gleichungen lösen. Ich habe mit Gleichung 1 begonnen und diese nach m1 aufgelöst: m1 = m2 + m3 ± 1/3*Ö Hiervon nehmen wir mal die Lösung mit +1/3*Ö und rechnen damit weiter. Wählen wir -, dann zeigt unser Normalenvektor am Ende in die entgegengesetzte Richtung - also ist es egal. Nun setzen wir unseren gerade gewonnenen Term für m1 in Gleichung 2 ein: (m2 + m3 + 1/3*Ö)² + m2² + m3² = 1 Wir rechnen aus: m2² + m2(m3 + 1/3*Ö3) + (m3² + m3/3*Ö3 - 1/3) = 0 Diese quadratische Gleichung mit m2 als Unbekannte lösen wir und erhalten: m2 = -m3/2 - 1/6*Ö3 ± Ö(-3/4*m3² - m3/6*Ö3 + 5/12) An dieser Stelle entscheidet sich, welche der beiden Tangentenebenen wir berechnen. Wir wollen die Normalen folgendermaßen unterscheiden: m = t(m1, m2, m3), falls wir bei ± das + nehmen. m' = t(m1', m2', m3'), falls wir bei ± das - nehmen. Wir rechnen hier mal mit dem + weiter. Für das - geht es analog.
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 921 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 02:08: |
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Nun können wir die Gleichung 3 in Angriff nehmen. Wir setzen die Terme für m1 und m2 ein und erhalten: (m2 + m3 + 1/3*Ö) + 2*(-m3/2 - 1/6*Ö3 + Ö(-3/4*m3² - m3/6*Ö3 + 5/12)) - 3m3 = 0 Noch das letzte m2 ersetzen: (-m3/2 - 1/6*Ö3 + Ö(-3/4*m3² - m3/6*Ö3 + 5/12) + m3 + 1/3*Ö) + 2*(-m3/2 - 1/6*Ö3 + Ö(-3/4*m3² - m3/6*Ö3 + 5/12)) - 3m3 = 0 <=> 7m3/2 + 1/6*Ö3 = 3Ö(-3/4*m3² - m3/6*Ö3 + 5/12) = 0 => 19m3² + 8m3/3*Ö3 - 11/3 = 0 Kombiniert man nun die Lösungen mit den obigen Gleichungen, dann erhält man die Lösungen aus meinem obigen Beitrag. MfG Martin Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3119 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 08:38: |
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Hi Martin Ich gratuliere Dir zu Deiner Parforce-Leistung! Das ist beeindruckend. Ich zeige Dir (später) meinen Lösungsweg. Jedenfalls: wir haben wieder einmal dasselbe Resultat! MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3120 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 15:26: |
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Hi Martin Zuerst gebe ich, der Kürze zu Liebe, nur eine Inhaltsangabe meiner Lösungsidee: Ich bestimme zuerst die Gleichung des durch die Gerade g = SP bestimmten Ebenenbüschels. Mit t als Parameter sieht diese Gleichung so aus: 2 x + (3 t -1) y + 2 t z - 12 t = 0. Aus dem Angebot an Ebenen wähle ich diejenigen aus, welche mit der gegebenen Ebene - x + y + z = 0 einen Winkel alpha bilden, für welchen gilt: cos alpha = sin phi = 1/3 Beachte: jede Tangentialebene bildet mit einer Leitkreisebene einen Winkel, der zum halben Öffnungswinkel komplementär ist. Aus dieser Winkelbdingung folgt die Gleichung für t: [-2+3t–1+2t]/ [sqrt(3)*sqrt(4+9t^2-6t+1+4t^2)] = 1/3 vereinfacht: 31 t^2 – 42 t + 11 = 0 Lösungen: t1 = 1 , t2 = 11/31 Wir erhalten damit die gesuchten Ebenen: x + y + z = 6 und 31 x + y + 11 z = 66 Voilà !
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3126 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 15:38: |
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Hi allerseits, Die Idee, in solchen Fällen Ebenenbüschel einzusetzen, hat sich noch zu wenig durchgesetzt. Daher möchte ich den Einsatz dieser Methode am vorliegenden Beispiel etwas näher ausführen. Es soll die Gleichung des Ebenenbüschels mit der Geraden g als Achse erläutert werden. g ist bestimmt durch die Punkte S(1/2/3) und P(0/0/6). Als erste Ebene E1 durch g wählen wir diejenige, die zur (x,y)-Ebene senkrecht steht; sie heißt erstprojizierende Ebene von g, ihre Gleichung: E1 = 2 x – y = 0 Als zweite Ebene E2 durch g wählen wir diejenige, die zur (y,z)-Ebene senkrecht steht; sie heißt zweitprojizierende Ebene von g, ihre Gleichung: E2 = 3 y + 2 z - 12 = 0 Die Gleichung des Büschels mit t als Parameter lautet dann: E1 + t * E2 = 0 , also : 2 x – y + t * ( 3 y + 2 z – 12 ) = 0 oder 2 x + (3 t -1) y + 2 t z - 12 t = 0. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 958 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 16:45: |
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Hi megamath, dank dir kenne ich ja Ebenenbüschel und sie vereinfachen viele Aufgaben deutlich, daher ist es doch verwunderlich, das sie in vielen, fast allen gängigen deutschen Lehrbüchern NICHT auftauchen, geschweige denn am Rande erwähnt werden! Ich habe sie auch erst bei Zahlreich kennen und schätzen gelernt! Das vielleicht als Erklärung warum keiner so an die Aufgabe heran gegegangen ist... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3127 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 16:55: |
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Hi Ferdi, Die gleiche Feststellung habe ich schon lange gemacht,wollte es abre nicht an die grosse Glocke hängen. MfG H.R.Moser,megamath |
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