Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

ockere Folge 119 : Tangentialebenen e...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » ockere Folge 119 : Tangentialebenen eines Rotationskegels « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3109
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 09:21:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Mit Aufgabe LF 119 komme ich auf die analytische Geometrie
des Raumes zurück.

Gegeben sind die Punkte S(1/2/3) und P(0/0/6) sowie die
Ebene E : - x + y + z = 0.
R ist die Spitze eines Rotationskegels mit E als Leitkreisebene.
Für den halben Öffnungswinkel phi gilt: sin (phi) = 1/3
(phi: Winkel der Kegelachse mit einer Mantellinie).

Man bestimme die Koordinatengleichungen der beiden
Tangentialebenen des Kegels, die durch P gehen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3115
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 15:22:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

In der Aufgaestellung ist ein Tippfehler virulent

S ist die Spitze des Kegels, nicht R.
R hat hier nichts zu suchen!
Vielen Dank für den Hinweis

MfG
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Martin243 (Martin243)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 919
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 23:46:   Beitrag drucken

Hi!

Der Tippfehler macht nix! Ich habe mich bei der Aufgabe 100mal verschrieben und 1000mal verrechnet.
Auch beim Ansatz haperte es.
Zuerst habe ich versucht, den Lotfußpunkt von S aus auf die Ebene E zu berechnen, dann den Radius der Grundfläche des Kegels, seine Höhe etc...

Aber ich glaube, ich hab's:

Die Tangentenebenen haben meiner Meinung nach die folgenden Gleichungen:
T1: x + y + z = 6
T2: 31x + y + 11z = 66


Ich versuche mal, meine Berechnungen in eine ordentliche Form zu bringen. Dann poste ich sie hier.


MfG
Martin


(Beitrag nachträglich am 29., November. 2003 von Martin243 editiert)
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Martin243 (Martin243)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 920
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 02:08:   Beitrag drucken

So, jetzt müsste es gehen!


Wir wissen, dass der Winkel a zwischen den Ebenen E und T (Tangentialebene) gegeben ist durch:
cos a = |n * m|/nm,
wobei n bzw. m ein Normalenvektor der Ebene E bzw. T sein soll.

In unserem Fall ist a=90°-f.
Und da auch noch gilt: cos (90°-f) = sin f, können wir direkt schreiben:
sin f = |n * m|/nm

sin f kennen wir und n erhalten wir direkt aus der Ebenengleichung von E.
Also setzen wir diese Werte ein und erhalten:
1/3 = |t(-1, 1, 1) * m|/mÖ3

<=> 1/3*Ö3 = |t(-1, 1, 1) * m|/m

Da wir den Betrag von m nicht kennen, wollen wir gleich den Normaleneinheitsvektor m0 nehmen:
<=> 1/3*Ö3 = |t(-1, 1, 1) * m0|

Mit m=t(m1, m2, m3) erhalten wir Gleichung 1:
1/3*Ö3 = |m1 - m2 - m3|


Da wir uns eben wir einen Einheitsvektor entschieden haben, lautet Gleichung 2}:
m1² + m2² + m3² = 1


Die dritte Gleichung erhalten wir, wenn wir berücksichtigen, dass neben P (mit Ortsvektor p) auch S (mit Ortsvektor s) in der Ebene liegt:
m0*s - m0*p = 0

<=> m0*(s - p) = 0

<=> t(m1, m2, m3) * t(1, 2, -3) = 0

So erhalten wir auch Gleichung 3:
m1 + 2m2 - 3m3 = 0


Nun müssen wir die drei Gleichungen lösen.

Ich habe mit Gleichung 1 begonnen und diese nach m1 aufgelöst:
m1 = m2 + m3 ± 1/3*Ö

Hiervon nehmen wir mal die Lösung mit +1/3*Ö und rechnen damit weiter. Wählen wir -, dann zeigt unser Normalenvektor am Ende in die entgegengesetzte Richtung - also ist es egal.


Nun setzen wir unseren gerade gewonnenen Term für m1 in Gleichung 2 ein:
(m2 + m3 + 1/3*Ö)² + m2² + m3² = 1

Wir rechnen aus:
m2² + m2(m3 + 1/3*Ö3) + (m3² + m3/3*Ö3 - 1/3) = 0

Diese quadratische Gleichung mit m2 als Unbekannte lösen wir und erhalten:
m2 = -m3/2 - 1/6*Ö3 ± Ö(-3/4*m3² - m3/6*Ö3 + 5/12)


An dieser Stelle entscheidet sich, welche der beiden Tangentenebenen wir berechnen.
Wir wollen die Normalen folgendermaßen unterscheiden:
m = t(m1, m2, m3), falls wir bei ± das + nehmen.
m' = t(m1', m2', m3'), falls wir bei ± das - nehmen.


Wir rechnen hier mal mit dem + weiter. Für das - geht es analog.


Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Martin243 (Martin243)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 921
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 02:08:   Beitrag drucken

Nun können wir die Gleichung 3 in Angriff nehmen.
Wir setzen die Terme für m1 und m2 ein und erhalten:
(m2 + m3 + 1/3*Ö) + 2*(-m3/2 - 1/6*Ö3 + Ö(-3/4*m3² - m3/6*Ö3 + 5/12)) - 3m3 = 0

Noch das letzte m2 ersetzen:
(-m3/2 - 1/6*Ö3 + Ö(-3/4*m3² - m3/6*Ö3 + 5/12) + m3 + 1/3*Ö) + 2*(-m3/2 - 1/6*Ö3 + Ö(-3/4*m3² - m3/6*Ö3 + 5/12)) - 3m3 = 0

<=> 7m3/2 + 1/6*Ö3 = 3Ö(-3/4*m3² - m3/6*Ö3 + 5/12) = 0

=> 19m3² + 8m3/3*Ö3 - 11/3 = 0


Kombiniert man nun die Lösungen mit den obigen Gleichungen, dann erhält man die Lösungen aus meinem obigen Beitrag.


MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

Galileo Galilei
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3119
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 08:38:   Beitrag drucken

Hi Martin

Ich gratuliere Dir zu Deiner
Parforce-Leistung!
Das ist beeindruckend.
Ich zeige Dir (später) meinen
Lösungsweg.
Jedenfalls: wir haben wieder einmal dasselbe Resultat!

MfG
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3120
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 29. November, 2003 - 15:26:   Beitrag drucken

Hi Martin



Zuerst gebe ich, der Kürze zu Liebe, nur eine
Inhaltsangabe meiner Lösungsidee:

Ich bestimme zuerst die Gleichung des durch die
Gerade g = SP
bestimmten Ebenenbüschels.
Mit t als Parameter sieht diese Gleichung so aus:
2 x + (3 t -1) y + 2 t z - 12 t = 0.
Aus dem Angebot an Ebenen wähle ich diejenigen
aus, welche mit der gegebenen Ebene
- x + y + z = 0 einen Winkel alpha bilden,
für welchen gilt: cos alpha = sin phi = 1/3
Beachte: jede Tangentialebene bildet mit einer
Leitkreisebene einen Winkel, der
zum halben Öffnungswinkel komplementär ist.
Aus dieser Winkelbdingung folgt die
Gleichung für t:

[-2+3t–1+2t]/ [sqrt(3)*sqrt(4+9t^2-6t+1+4t^2)] = 1/3

vereinfacht:

31 t^2 – 42 t + 11 = 0
Lösungen:
t1 = 1 , t2 = 11/31

Wir erhalten damit die gesuchten Ebenen:
x + y + z = 6

und

31 x + y + 11 z = 66

Voilà !
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3126
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 15:38:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Die Idee, in solchen Fällen Ebenenbüschel
einzusetzen, hat sich noch zu wenig durchgesetzt.
Daher möchte ich den Einsatz dieser Methode
am vorliegenden Beispiel etwas näher ausführen.

Es soll die Gleichung des Ebenenbüschels mit
der Geraden g als Achse erläutert werden.
g ist bestimmt durch die Punkte S(1/2/3) und P(0/0/6).

Als erste Ebene E1 durch g wählen wir diejenige, die
zur (x,y)-Ebene senkrecht steht; sie heißt
erstprojizierende Ebene von g, ihre Gleichung:
E1 = 2 x – y = 0

Als zweite Ebene E2 durch g wählen wir diejenige, die
zur (y,z)-Ebene senkrecht steht; sie heißt
zweitprojizierende Ebene von g, ihre Gleichung:
E2 = 3 y + 2 z - 12 = 0

Die Gleichung des Büschels mit t als Parameter
lautet dann:
E1 + t * E2 = 0 , also :

2 x – y + t * ( 3 y + 2 z – 12 ) = 0 oder
2 x + (3 t -1) y + 2 t z - 12 t = 0.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 958
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 16:45:   Beitrag drucken

Hi megamath,

dank dir kenne ich ja Ebenenbüschel und sie vereinfachen viele Aufgaben deutlich, daher ist es doch verwunderlich, das sie in vielen, fast allen gängigen deutschen Lehrbüchern NICHT auftauchen, geschweige denn am Rande erwähnt werden! Ich habe sie auch erst bei Zahlreich kennen und schätzen gelernt!

Das vielleicht als Erklärung warum keiner so an die Aufgabe heran gegegangen ist...

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3127
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. November, 2003 - 16:55:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Die gleiche Feststellung habe ich schon lange gemacht,wollte es abre nicht an die grosse Glocke hängen.

MfG
H.R.Moser,megamath

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page