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Lockere Folge 121: Eigenschatten eine...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3112
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 13:06:   Beitrag drucken

Hi allerseits,



Die folgende Aufgabe LF 121
ist wiederum der Raumgeometrie gewidmet.
Sie segelt unter dem Motto
„Wo viel Licht ist, ist auch viel Schatten.“

Die Aufgabe lautet:

Gegeben werden die Punkte P(4/-2/10) und Q(-4/-4/4).

a)
Gesucht wird die Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt
auf der z-Achse, welche durch P und Q geht.

b)
Bei einer Parallelbeleuchtung der Kugel soll die
Eigenschattengrenze auf der Kugel
durch P und Q gehen.
Man ermittle einen Richtungsvektor der Lichtrichtung.

c)
Bei einer Zentralbeleuchtung der Kugel von einem Punkt L
der (x,y)-Ebene aus soll die Eigenschattengrenze auf der Kugel
ebenfalls durch P und Q gehen.
Man bestimme das Lichtzentrum L

Fiat lux !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 914
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 15:37:   Beitrag drucken

Hi!

a)
Allgemeine Kugelgleichung:
(x-xM)² + (y-yM)² + (z-zM)² = r²

Hier vereinfacht es sich wegen des Mittelpunkts M(0 / 0 / zM) zu:
x² + y² + (z-zM)² = r²

Nun setzen wir die bekannten Koordinaten von P und Q ein:
4² + (-2)² + (10-zM)² = r²
(-4)² + (-4)² + (4-zM)² = r²

Wir können die beiden linken Seiten gleichsetzen:
120 - 20zM + zM² = 48 - 8zM + zM²

<=> 12zM = 72 <=> zM=6

Jetzt noch den Radius:
4² + (-2)² + (10-6)² = 16 + 4 + 16 = 36 = r²


Also lautet die Gleichung der Kugel:
x² + y² + (z - 6)² = 6²


Ich muss weg...


MfG
Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.

&nbsp; Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
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Senior Mitglied
Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 915
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 16:52:   Beitrag drucken

... weiter im Text:

b)
Wenn ich das mit der Parallelbeleuchtung richtig verstehe, dann suchen wir die Richtung t zweier paralleler Tangenten an die Kugel in den Punkten P und Q.
Diese Tangenten stehen senkrecht auf der Ebene durch P, Q und M, sozusagen die "Äquatorebene" durch P und Q.

Es gilt also (t=Lichtrichtung, m=Ortsvektor des Mittelpunkts´, p,q Ortsvektoren von P, Q):
t' = ± (p-m) x (q-m)

= ± t(4, -2, 4) x t(-4, -4, -2)

= ± t(4, -2, 4) x t(-4, -4, -2)

= ± t(20, -8, -24)


Und mit t=t'/4 erhalten wir:
t = ± t(5, -2, -6)

Das ± nur, um anzudeuten, dass das Licht aus zwei (entgegengesetzten) Richtungen kommen kann, während die Eigenschattengrenze dieselbe bleibt.


MfG
Martin
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Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 916
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 17:29:   Beitrag drucken

... und die c):

Hier stehen die Tangenten von L aus an die Kugel in P bzw. Q senkrecht auf den Radien durch P bzw. Q. Also:

(p-l)(p-m) = 0 und
(q-l)(q-m) = 0 und

Außerdem hat l (Ortsvektor von L) die Form:
l = t(xL, yL, 0).

Somit erhalten wir das Gleichungssystem:
4(4-xL) - 2(-2-yL) + 4*10 = 0 und
-4(-4-xL) - 4(-4-yL) - 2*4 = 0 und

<=>
-4xL + 2yL = -60 und
4xL + 4yL = -24

yL = -84/6 = -14
xL = 8


Also hat das Lichtzentrum die Koordinaten:
L(8 / -14 / 0).

Fuit lux. (???)

MfG
Martin

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Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3117
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 18:14:   Beitrag drucken

Hi Martin



Alle Deine Resultate stimmen mit meinen
Resultaten vollständig überein;
Helligkeit total
Besten Dank

MfG
H.R.Moser,megamath

MfG
H.R.Moser,megamath

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