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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3112 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 13:06: |
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Hi allerseits, Die folgende Aufgabe LF 121 ist wiederum der Raumgeometrie gewidmet. Sie segelt unter dem Motto „Wo viel Licht ist, ist auch viel Schatten.“ Die Aufgabe lautet: Gegeben werden die Punkte P(4/-2/10) und Q(-4/-4/4). a) Gesucht wird die Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt auf der z-Achse, welche durch P und Q geht. b) Bei einer Parallelbeleuchtung der Kugel soll die Eigenschattengrenze auf der Kugel durch P und Q gehen. Man ermittle einen Richtungsvektor der Lichtrichtung. c) Bei einer Zentralbeleuchtung der Kugel von einem Punkt L der (x,y)-Ebene aus soll die Eigenschattengrenze auf der Kugel ebenfalls durch P und Q gehen. Man bestimme das Lichtzentrum L Fiat lux ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 914 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 15:37: |
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Hi! a) Allgemeine Kugelgleichung: (x-xM)² + (y-yM)² + (z-zM)² = r² Hier vereinfacht es sich wegen des Mittelpunkts M(0 / 0 / zM) zu: x² + y² + (z-zM)² = r² Nun setzen wir die bekannten Koordinaten von P und Q ein: 4² + (-2)² + (10-zM)² = r² (-4)² + (-4)² + (4-zM)² = r² Wir können die beiden linken Seiten gleichsetzen: 120 - 20zM + zM² = 48 - 8zM + zM² <=> 12zM = 72 <=> zM=6 Jetzt noch den Radius: 4² + (-2)² + (10-6)² = 16 + 4 + 16 = 36 = r² Also lautet die Gleichung der Kugel: x² + y² + (z - 6)² = 6² Ich muss weg... MfG Martin Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 915 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 16:52: |
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... weiter im Text: b) Wenn ich das mit der Parallelbeleuchtung richtig verstehe, dann suchen wir die Richtung t zweier paralleler Tangenten an die Kugel in den Punkten P und Q. Diese Tangenten stehen senkrecht auf der Ebene durch P, Q und M, sozusagen die "Äquatorebene" durch P und Q. Es gilt also (t=Lichtrichtung, m=Ortsvektor des Mittelpunkts´, p,q Ortsvektoren von P, Q): t' = ± (p-m) x (q-m) = ± t(4, -2, 4) x t(-4, -4, -2) = ± t(4, -2, 4) x t(-4, -4, -2) = ± t(20, -8, -24) Und mit t=t'/4 erhalten wir: t = ± t(5, -2, -6) Das ± nur, um anzudeuten, dass das Licht aus zwei (entgegengesetzten) Richtungen kommen kann, während die Eigenschattengrenze dieselbe bleibt. MfG Martin Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 916 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 17:29: |
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... und die c): Hier stehen die Tangenten von L aus an die Kugel in P bzw. Q senkrecht auf den Radien durch P bzw. Q. Also: (p-l)(p-m) = 0 und (q-l)(q-m) = 0 und Außerdem hat l (Ortsvektor von L) die Form: l = t(xL, yL, 0). Somit erhalten wir das Gleichungssystem: 4(4-xL) - 2(-2-yL) + 4*10 = 0 und -4(-4-xL) - 4(-4-yL) - 2*4 = 0 und <=> -4xL + 2yL = -60 und 4xL + 4yL = -24 yL = -84/6 = -14 xL = 8 Also hat das Lichtzentrum die Koordinaten: L(8 / -14 / 0). Fuit lux. (???) MfG Martin
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3117 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 28. November, 2003 - 18:14: |
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Hi Martin Alle Deine Resultate stimmen mit meinen Resultaten vollständig überein; Helligkeit total Besten Dank MfG H.R.Moser,megamath MfG H.R.Moser,megamath |
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