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Reguläre Dreiecksmatrix

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Lineare Algebra » Matrizen » Reguläre Dreiecksmatrix « Zurück Vor »

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D_morph (D_morph)
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Benutzername: D_morph

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 14:19:   Beitrag drucken

Hallo,

Ich habe zwei Probleme:
1. Sei A eine untere (bzw. obere) Dreiecksmatrix. Zu zeigen: A ist regulär <=> a(i,i) ungleich 0 (soll heißen: die Elemente auf der Hauptdiagonalen)

2. Sie B eine quadratische Matrix mit B²=B (B ungleich der Einheitsmatrix). Zu zeigen ist hier, dass B keine Inverse hat.

Wär nett wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte...
Danke.
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D_morph (D_morph)
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Benutzername: D_morph

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 15:11:   Beitrag drucken

Zu 2.:
Reicht es einfach, wenn ich eine Inverse B' von B annehme und dann mit
B'*B*B=B'*B
E*B=E (E: Einheitsmatrix)
B=E
einen Widerspruch konstruiere?
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 907
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 17:06:   Beitrag drucken

Hi!

Zu 1. hätte ich die folgende Idee:
Betrachte o.B.d.A. eine obere Dreiecksmatrix.

Da wir wissen, dass eine Matrix genau dann regulär ist, wenn ihre Determinante ungleich Null ist, wollen wir die Determinante bestimmen.

Du wirst feststellen, dass man durch wiederholte Entwicklung nach der 1. Spalte Folgendes erhält:
det A = a11*a22*...*ann

Wenn du diese Identität richtig herleitest (per Induktion?), dann hast du bereits auch beide Richtungen bewiesen.


Die Aufgabe 2 hätte ich genauso gelöst. Ist auch der einfachste Weg.


MfG
Martin
________
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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D_morph (D_morph)
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Benutzername: D_morph

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 19:59:   Beitrag drucken

Bestechend einfach ... vielen Dank!

Determinanten und ihre Eigenschaften werden allerdings bei uns noch nicht als bekannt vorausgesetzt.
Mir ist aber gerade eingefallen, dass eine nxn-Matrix auch genau dann regulär ist, wenn ihr Rang=n ist.
Aber ist das nicht bei einer oberen/unteren Dreiecksmatrix mit lauter von 0 verschiedenen Werten auf der Hauptdiagonalen ganz offensichtlich? Oder anders: Wie kann ich das formal zeigen? Oder hab ich was falsch verstanden?
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 908
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 23:08:   Beitrag drucken

Hi!

Wenn das ohne Determinanten gehen soll, dann vielleicht so:
Der Rang einer Matrix entspricht der Dimension des Vektorraums, der von den als Vektoren aufgefassten Spalten dieser Matrix.
Da ganz klar ist, dass der n-te (ganz rechte) Vektor von den anderen linear unabhängig ist (er hat als einziger einen Eintrag in der untersten Zeile) und man dasselbe induktiv für alle vorhergehenden Spalten machen kann, sieht man, dass alle Vektoren = Spalten der Matrix linear unabhängig sind. Sie bilden also eine Basis des von ihnen erzeugten Vektorraums.
Da es n Vektoren sind, ist die Dimension des Vektorraums auch n und somit auch der Rang der Matrix n. => Matrix regulär

Wenn es dir noch nicht klar ist, dann musst du mal kurz beschreiben, was ich als bekannt voraussetzen darf.


MfG
Martin
________
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Galileo Galilei
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D_morph (D_morph)
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Benutzername: D_morph

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. November, 2003 - 06:29:   Beitrag drucken

Reicht schon, danke nochmal!
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Meysam (Meysam)
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Benutzername: Meysam

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Montag, den 29. Dezember, 2003 - 20:01:   Beitrag drucken

Ich habe die folgende Aufgaben zu lösen und ich brauche dringend Ihre Hilfe!
1. in welchem Unterraum geht die Ebene
{(x)Element von R hoch 3 ; x+2y -3z=0}
..y
..z
bei der durch die Matrix A={2 0 1} bestimmten
..................................-1 1 0
...................................3 0 -1
Abbildung R hoch 3 ---R hoch 3 über?

2.Eine linerar Abbildung P: V--V heißt Projektion, wenn P hoch 2 = P gilt.

In V= R hoch 3 sei eine Abbildung
µ= (-1 -2 -2) definiert.
....-1 0 -1
.....2 2 3
(a) Man zeige, dass µ eine Projektion ist
(b)Man bestimme den größten linearen Teilraum
U c R hoch 3 , für den µ(U)=U gilt.
(c)Man bestimme Kern (µ).

3.

In R hoch 3 sei die übliche Basis
e hoch (1)= (1}, e hoch(2) ={0}, e hoch (3) = 0}
......................0...............1.................0
..................0....................0.................1
Im Dualraum (R hoch 3)* :={ß:R hoch 3--R ß linear} seien die folgenden Funktionale gegeben:
ß1 (X):=X1 - X3
ß2 (x):=2*X1+2*X2 -X3 mit X=(X1,X2,X3)hoch T
ß3 (X):=-X1 +3*X2
Man bestimme eine Basis {a hoch(1),a hoch (2), a hoch (3)} von R hoch 3, für die gilt :ßi(a hoch (j))=µij (i, j=1,2,3)

4.
A=(aij; i,j=1,....,n) E K hoch nxn heißt obere Dreieck Matrix, falls aij=0 für i>j.
Zeigen Sie, dass die Mengen der oberen Dreiecksmatrizen einen Unterring von K hoch nxn bildet.

5.
Für welche ß element C ist die Matrix

A(ß)=[1 ß 0}
..........ß 1 ß
..........0 ß 1

regulär? Berechnen Sie ggf. die Inverse
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Meysam (Meysam)
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Benutzername: Meysam

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Januar, 2004 - 19:46:   Beitrag drucken

Ich brauch Hife!BITTE

Charakterisieren Sie die Regularität von reellen 2x2- und 3x3- Matrizen durch jeweils eine Gleichung für die Koeffizienten.
Für 2x2- Matrizen leite man eine Formel für die Inverse ab

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