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mathLockere Folge 114 : Ungleichung 2

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3093
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. November, 2003 - 16:22:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 114 soll die Bernoullische Ungleichung
(1+p) ^ n > 1 + n p
für natürliche Zahlen n>1 und positive p mit Hilfe des Satzes vom
arithmetischen / geometrischen Mittel bewiesen werden.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 904
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 10:57:   Beitrag drucken

Hi!

Ich erhebe keinen Anspruch auf die eleganteste Lösung, aber die sollte es auch tun:

Bernoulli-Ungleichung über AM >= GM


MfG
Martin
________
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3097
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 11:04:   Beitrag drucken

Hi Martin

Bravo, Deine Lösung gefällt mir sehr gut,
sie hat Substanz!*
Ich zeige dir meine L. etwas später,als
Pop-Variante.
MfG
H.R.Moser,megaamth

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3098
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 11:07:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Lösung der Aufgabe LF 114.

Mit etwas Raffinement kann die verlangte

Brücke gebaut werden:

Sei a1 = 1 + np > 0 , a2 = a3 =….= an = 1.

Berechnung des arithmetischen Mittels A der aj:

A = 1/n [1+np +(n-1)*1] = 1/n [1+np+n-1] =1+p.

Berechnung des geometrischen Mittels G der aj:

G ^ n = (1+n p)*1*1…*1 = 1 + n p

Setze an: A > G - > (1 + p) ^ n > 1 + n p , qed.


Mit freundlichen Grüßen

H.R.Moser,megamath

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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 905
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. November, 2003 - 11:17:   Beitrag drucken

Ja, das ist eine elegante Lösung!

Ich habe gerade gesehen, dass mein Beweis in seiner Form nur für p>1 gilt (ich nehmen an: pk>p). Das ist natürlich dumm.
Könnte man an den Ungleichungen etwas drehen, damit es für alle positiven p gilt?


MfG
Martin
________
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Galileo Galilei

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