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Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 273
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 22:51: | 
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Hallo,
Sei m > 1 eine natürliche Zahl.
a) Man bestimme diejenigen m, für die es im Ring (F(m), +m, *m) Elemente x nicht 0 gibt, derart, dass x^n = 0 für ein geeignetes n gilt.
b) Man bestimme im Ring F(m) diejenigen Elemente x, zu denen es ein y element F(m) gibt mit x *m y =1. Man zeige, dass diese "invertierbaren" Elmente mit der Multiplikation *m eine Gruppe bilden.
Zu b) Ich glaube, es sind alle Elemente, die zu m Teilerfremd sind, die invertierbar sind. Aber wie ich das beweisen soll und den Rest, weiß ich nicht.
Vielen Dank für jede Hilfe!
Tamara |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 897
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 10:56: |
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Hi!
a)
Wir können mal so anfangen:
Sei m eine Primzahl. Dann hat m keine anderen Teiler als sich selbst und 1.
Nun betrachten wir eine beliebige Zahl x aus Fm, also x<m.
Wenn wir erreichen wollen, dass xn=0 in Fm ist, müssen wir derartige n und p finden, dass gilt:
xn = p*m (in den natürlichen Zahlen, nicht in Fm)
Da aber m eine Primzahl ist und x<m, taucht in der Primfaktorzerlegung von x das m nicht auf und auch nicht in xn, so froß wir das n auch wählen.
Also keine Primzahlen für m!
Nun betrachten wir mal eine Zahl m=pq, eine zusammengesetzte also.
p und q liegen natürlich in Fm, also betrachten wir o.B.d.A. folgende Gleichung:
pn = s*m
Mit m=pq erhalten wir:
pn = s * p * q
Nun müssen die Primfaktoren von p mindestens auch die von q enthalten, so dass gilt:
p = x * q, also:
pn = (x*q)*pn-1 = q * p * s
Somit gilt für m:
m = pq = (q*s)*q = sq²
Also gilt, dass man für m eine Zahl wählen muss, die ein Vielfaches eines Quadrats ist.
Wir machen nur einige Stichproben zur Veranschaulichung:
m=3: kein x mit xn=0
m=4=2²: 22 = 0
m=6: kein x mit xn=0
m=8=2*2²: 23 = 0
m=12=3*2²: 62 = 0
m=4851=11*7²*3²: (3*7*11)² = 231² = 0
etc.
MfG
Martin
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Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 275
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 15:14: |
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... und auf sowas soll man als Mathe-Erstsemester kommen 
Vielen Dank, Martin, das war sehr gut erklärt.
Tamara |
Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 276
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 17:35: |
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Weißt du (oder jemand) noch, wie man die b) zeigt?
Tamara |
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