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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3074
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 17:38: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 113 ist eine Ungleichung zu beweisen;
die Aufgabe lautet:
Man beweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen
Mittel A und geometrischen Mittel G die Gültigkeit der
Ungleichung
1* 3 * 5 * 7 * ……….* (2n-1) < n ^ n.
H.R.Moser,megamath
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 893
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. November, 2003 - 21:44: |
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Hi!
Wir betrachten natürlich nur die Fälle für n>1, denn:
1 = 11.
Es gilt nach Cauchy (?):
GM < AM
Also:
nÖ[1 * 3 * 5 * ... * (2n-1)] < [1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)]/n = n²/n = n (denn die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n², ohne Beweis, ist bekannt)
Also:
nÖ[1 * 3 * 5 * ... * (2n-1)] < n
Da beide Seiten der Ungleichung >1 sind, können wir ruhig die n-te Potenz davon nehmen und erhalten:
1 * 3 * 5 * ... * (2n-1) < nn,
was zu zeigen war.
MfG
Martin
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Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3076
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. November, 2003 - 12:07: |
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Hi Martin,
Wie üblich:
kurz und bündig die Herleitung!
BRAVO!
Ich habe die dankbare Aufgabe,neue Aufgaben
bereit zu stellen.
MfG
H.R.Moser,megamath |
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