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Lockere Folge 106: Hyperboloid

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3049
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 14:48:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 106 ist eine Hyperboloidaufgabe zu lösen.

Die Gleichung des Hyperboloides lautet:
x^2 + 4 y^2 - 16 z^2 = 64
Auf seiner Kehlellipse liegt der Punkt K(0/2/0).
Ermittle die Gleichungen der beiden Geraden m1 und m2,
welche durch K gehen und auf dem Hyperboloid liegen.
Weise rechnerisch nach, dass die von m1 und m2
aufgespannte Ebene eine Tangentialeben des
Hyperboloides ist.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 314
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 20:55:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Zur besseren Vorstellung habe ich zunächst umgeformt:

x^2+4y^2-16z^2=64

=>

x^2/8^2+y^2/4^2-z^2/2^2=1

=> Spitze liegt im Ursprung!

Ist die Kehlellipse nun die Schnittfigur,die sie beim Schnitt mit der Ebene z=0 ergibt?
Dann erhalte ich aber

x^2/8^2+y^2/4^2=1.

K ist kein Punkt dieser Ellipse.Was mache ich falsch?


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3060
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 21:49:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Das tut mir leid!
Einr meiner TF
Es muss heissen:
K(0/4/0) ,sorry!
Geht das dann ?

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3061
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 09:32:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Lösungshinweis
Man lege durch den Punkt K eine beliebige
Gerade (Gleichung in Parameterform)
und fordere,dass sie ganz in der Fläche liegt.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 315
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 19:52:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Ja,das war mir soweit klar.Danach wollte ich mit Hilfe des Gradienten zeigen,daß es sich
um eine Tangentialebene handelt.Leider komme ich nicht auf die Richtungsvektoren der Geradengleichungen.


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3069
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 20:58:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Als Ansatz für die beiden Geraden durch K wählte ich
x = 0 + a t, y = 4 + b t , z = 0 + 1 t
t als Parameter; a und b sind die x und y Koordinaten
eines Richtungsvektors von m, die z-Koordinate wurde
normiert und ist 1.
Einsetzen und nach Potenzen von t ordnen
Dies gibt b = 0 und a1 = 4 , a2 = - 4
Ermittle die Gleichung der Ebene, die von m1,m2
aufgespannt wird; es kommt y = 4 (!)
Ihre Spur in der Ebene der Kehlellipse ist Tangente an diese,
wie man leicht bestätigt,
und damit ist die fragliche Ebene eine Tangentialebene.
Hoffentlich stimmen die Zahlenwerte!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 317
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. November, 2003 - 21:12:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Danke für die Erklärungen.

Mal eine neue Variante:
Ich hatte die Aufgabe bereits gelöst,jedoch ohne es zu merken!


:-)
Gruß,Olaf

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