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Lockere Folge 103 : eine Ungleichung

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3036
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 13:39:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Als Aufgabe 103 der lockeren Folge
soll eine einfache Ungleichung über positive ganze
Zahlen n ausdrücklich ohne Benützung der Methode
der vollständigen Induktion bewiesen werden;
das beflügelt die Phantasie ebenfalls.

Sei R = R(n) die Summe der Reziproken von 1 bis n
für n >1 , also
R = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … .. + 1/n.

Beweise die Ungleichung
R > n * [ (n+1)^(1/n) – 1 ]

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1737
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 14:54:   Beitrag drucken

ich bin faul, glaub es aber einsehbar gemacht
zu haben
lock
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3040
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 16:18:   Beitrag drucken

Hi Friedrich,

ich kann die in meiner Ungleichung involvierte Summe R vor lauter Bäumen nicht sehen!
Wo steckt sie denn ?
Mit Verlaub: Woher stammt dieses Skript?

MfG
H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1740
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 18:03:   Beitrag drucken

ich hoffe,
die letzte Zeile ist klar.
Die
Summe(n-k,k=0 bis Unendlich) = n/(n+1)
ist
immer < 1, mit dem zu großem Wert 3/2 > n1/n
multipliziert immer < 3/2 < R ( ausser für n=2,
aber wie gesagt,3/2 > n1/n )
-----
das Formelbild ist aus keinem (irgendwo anders
hergenomm3/2 > n1/nenem ) Skript
es ist mit texmacs getippt ( davon dann screenshot )
(
in absebarer Zeit soll es texmacs auch für windows
geben, zur Zeit für Linux und Mac . Siehe
http://texmacs.org
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1741
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 18:29:   Beitrag drucken

korrektor: natürlich Summe((-n)-k,k=0 bis unendlich )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3045
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 07:20:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Lösungshinweis zur Aufgabe LF 103:
Arbeite mit dem Satz vom arithmetischen Mittel A
und geometrischem Mittel G,
A>G, und Du bist schnell am Ziel.

Wende den Satz an auf die n Zahlen
1+1/1; 1+1/2; 1+1/3;…………..;1+1/n.
Du kannst für G diese Zahlen auch so schreiben:
2/1; 3/2;………………………………….;(n+1)/n
Nütze bei der Berechnung von G den Teleskopeffekt
aus.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 311
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 06:26:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Irgendwie klappt es bei der Umsetzung immer noch nicht.Ich wette,ich verstehe mal wieder
was falsch.:-)


Gruß,Olaf
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 700
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 07:53:   Beitrag drucken

Olaf,

Die AM/GM-Ungleichung besagt:

[(1/n)*Sn k=1 (1+1/k)]n

> prod[k=1,n](1+1/k) <=>

n + R(n) > n*(1+n)1/n <=>

R(n) > n*[(1+n)1/n-1]

megamath:

Bemerkung 1. Die strenge Ungleichung gilt für n >= 2.

Bemerkung 2. (nur für Puristen): Die vollständige
Induktion steckt natürlich in AM/GM.



mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3054
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 09:36:   Beitrag drucken

Hi Orion



Ad 1)
In der Aufgabenstellung steht diese Klausel schon: n>1.

Ad 2)
In der Mathematik ist es wie bei den berühmten
russischen Schachtelpuppen, den Matroschkas
(cf.Google): jedes steckt in jedem drin.
Purist bin ich immer nur dann, wenn es nicht mehr
anders geht.

Mit freundlichen Grüßen
Hans Rudolf Moser
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1744
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 09:44:   Beitrag drucken

@Megamath:
wirklich jedes in jedem?
Vollständig Ind. auch in meiner Lösung ( oder ist sie doch keine? )
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3055
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 12:34:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Ich zeige Dir meine Lösung der Aufgabe LF 103, so
wie ich mir diese als Aufgabensteller vorgestellt habe.
Arbeite mit dem Satz über das arithmetische Mittel A
und das geometrische Mittel G, der zum Inhalt die
Ungleichung A>G hat; die Methode ist oft nützlich
und soll an Beispielen eingeübt werden
(Kurzname: Am/Gm – Ungleichung).
Das ist auch der tiefere Sinn der Angelegenheit, nicht
die Konkurrenzierung der allgegenwärtigen
Beweismethode der vollständigen Induktion, hihi.

Wende die Methode an auf die n Zahlen
1+1/1; 1+1/2; 1+1/3;…………..;1+1/n.
Addiere diese n Zahlen und dividiere durch n; es kommt
A = [n + R] / n = 1 + R / n.
R ist nach wie vor die Summe der Reziproken Zahlen:
R = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … .. + 1/n.

Du kannst für G diese Zahlen auch so schreiben:
2/1; 3/2;………………………………….;(n+1)/n
Damit bekommst Du:
G = [ 2/1*3/2*………………………………….*(n+1)/n]^(1/n)
= [n+1] ^(1/n)


Bei dieser Berechnung von G kommt ein Teleskopeffekt
zur Geltung.

Aus der Ungleichung A > G folgt nach kleiner Rechnung
die Behauptung.
Das alles hat bereits Orion gezeigt; die Doppelspurigkeit
wird sich, so hoffe ich,trotzdem lohnen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Nummer des Beitrags: 313
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 16:56:   Beitrag drucken

Hi,

Vielen Dank euch beiden!
Ich bereite mich im Moment auch mit Hilfe von Analysis 1 von Harro Heuser vor.Mit
Ungleichungen (angefangen mit Bernoulli) wird man ziemlich schnell konfrontiert,ich bin also sehr dankbar für die Doppelspurigkeit!:-)
Übrigens waren die Aufgaben zu den Kegelschnitten auch sehr lehrreich,Megamath.


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3057
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 17:27:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Es geht weiter so!
Zunächst mit den Flächen zweiter Ordnung und dann mit Beispielen zur Methode
mit dem (A.G)-Mittel

MfG
H.R.Moser,megamath

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