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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3036 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 13:39: |
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Hi allerseits, Als Aufgabe 103 der lockeren Folge soll eine einfache Ungleichung über positive ganze Zahlen n ausdrücklich ohne Benützung der Methode der vollständigen Induktion bewiesen werden; das beflügelt die Phantasie ebenfalls. Sei R = R(n) die Summe der Reziproken von 1 bis n für n >1 , also R = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … .. + 1/n. Beweise die Ungleichung R > n * [ (n+1)^(1/n) – 1 ] Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1737 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 14:54: |
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ich bin faul, glaub es aber einsehbar gemacht zu haben
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3040 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 16:18: |
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Hi Friedrich, ich kann die in meiner Ungleichung involvierte Summe R vor lauter Bäumen nicht sehen! Wo steckt sie denn ? Mit Verlaub: Woher stammt dieses Skript? MfG H.R.Moser,megamath |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1740 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 18:03: |
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ich hoffe, die letzte Zeile ist klar. Die Summe(n-k,k=0 bis Unendlich) = n/(n+1) ist immer < 1, mit dem zu großem Wert 3/2 > n1/n multipliziert immer < 3/2 < R ( ausser für n=2, aber wie gesagt,3/2 > n1/n ) ----- das Formelbild ist aus keinem (irgendwo anders hergenomm3/2 > n1/nenem ) Skript es ist mit texmacs getippt ( davon dann screenshot ) ( in absebarer Zeit soll es texmacs auch für windows geben, zur Zeit für Linux und Mac . Siehe http://texmacs.org ) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1741 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. November, 2003 - 18:29: |
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korrektor: natürlich Summe((-n)-k,k=0 bis unendlich ) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3045 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. November, 2003 - 07:20: |
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Hi allerseits Lösungshinweis zur Aufgabe LF 103: Arbeite mit dem Satz vom arithmetischen Mittel A und geometrischem Mittel G, A>G, und Du bist schnell am Ziel. Wende den Satz an auf die n Zahlen 1+1/1; 1+1/2; 1+1/3;…………..;1+1/n. Du kannst für G diese Zahlen auch so schreiben: 2/1; 3/2;………………………………….;(n+1)/n Nütze bei der Berechnung von G den Teleskopeffekt aus. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 311 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 06:26: |
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Hi Megamath, Irgendwie klappt es bei der Umsetzung immer noch nicht.Ich wette,ich verstehe mal wieder was falsch. Gruß,Olaf |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 700 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 07:53: |
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Olaf, Die AM/GM-Ungleichung besagt: [(1/n)*Sn k=1 (1+1/k)]n > prod[k=1,n](1+1/k) <=> n + R(n) > n*(1+n)1/n <=> R(n) > n*[(1+n)1/n-1] megamath: Bemerkung 1. Die strenge Ungleichung gilt für n >= 2. Bemerkung 2. (nur für Puristen): Die vollständige Induktion steckt natürlich in AM/GM.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3054 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 09:36: |
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Hi Orion Ad 1) In der Aufgabenstellung steht diese Klausel schon: n>1. Ad 2) In der Mathematik ist es wie bei den berühmten russischen Schachtelpuppen, den Matroschkas (cf.Google): jedes steckt in jedem drin. Purist bin ich immer nur dann, wenn es nicht mehr anders geht. Mit freundlichen Grüßen Hans Rudolf Moser
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1744 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 09:44: |
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@Megamath: wirklich jedes in jedem? Vollständig Ind. auch in meiner Lösung ( oder ist sie doch keine? ) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3055 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 12:34: |
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Hi Olaf Ich zeige Dir meine Lösung der Aufgabe LF 103, so wie ich mir diese als Aufgabensteller vorgestellt habe. Arbeite mit dem Satz über das arithmetische Mittel A und das geometrische Mittel G, der zum Inhalt die Ungleichung A>G hat; die Methode ist oft nützlich und soll an Beispielen eingeübt werden (Kurzname: Am/Gm – Ungleichung). Das ist auch der tiefere Sinn der Angelegenheit, nicht die Konkurrenzierung der allgegenwärtigen Beweismethode der vollständigen Induktion, hihi. Wende die Methode an auf die n Zahlen 1+1/1; 1+1/2; 1+1/3;…………..;1+1/n. Addiere diese n Zahlen und dividiere durch n; es kommt A = [n + R] / n = 1 + R / n. R ist nach wie vor die Summe der Reziproken Zahlen: R = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … .. + 1/n. Du kannst für G diese Zahlen auch so schreiben: 2/1; 3/2;………………………………….;(n+1)/n Damit bekommst Du: G = [ 2/1*3/2*………………………………….*(n+1)/n]^(1/n) = [n+1] ^(1/n) Bei dieser Berechnung von G kommt ein Teleskopeffekt zur Geltung. Aus der Ungleichung A > G folgt nach kleiner Rechnung die Behauptung. Das alles hat bereits Orion gezeigt; die Doppelspurigkeit wird sich, so hoffe ich,trotzdem lohnen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 313 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 16:56: |
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Hi, Vielen Dank euch beiden! Ich bereite mich im Moment auch mit Hilfe von Analysis 1 von Harro Heuser vor.Mit Ungleichungen (angefangen mit Bernoulli) wird man ziemlich schnell konfrontiert,ich bin also sehr dankbar für die Doppelspurigkeit! Übrigens waren die Aufgaben zu den Kegelschnitten auch sehr lehrreich,Megamath. Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3057 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. November, 2003 - 17:27: |
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Hi Olaf Es geht weiter so! Zunächst mit den Flächen zweiter Ordnung und dann mit Beispielen zur Methode mit dem (A.G)-Mittel MfG H.R.Moser,megamath |