Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Fibonacci-Zahlen, Konvergenz und Gren...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Fibonacci-Zahlen, Konvergenz und Grenzwert « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Stylar (Stylar)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Neues Mitglied
Benutzername: Stylar

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2003 - 14:49:   Beitrag drucken

Hey.
Ich steh mal wieder vor einem Problem die Konvergenz und den Grenzwert betreffend. Hier die Aufgabe:

{Fn} sei die Folge der Fibonacci-Zahlen definiert durch F0=F1=1, Fn+1=Fn+Fn-1. Man zeige, dass die Folge {qn}n€N, qn:=Fn+1/Fn konvergiert und bestimmt den Grenzwert.

Ich dachte irgendwie, dass ich die Konvergenz über den Grenzwert und die e-Umgebung bestimmen müßte, aber das klappt ja irgendwie hier nicht ganz, oder seh ich das falsch?

Wäre toll, wenn mir jemand weiterhilft.
Danke, Stylar
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1721
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 16. November, 2003 - 15:32:   Beitrag drucken

(Fn+1)/Fn=(Fn-1+Fn)/Fn

qn=(Fn+1)/Fn=1 + Fn-1/Fn= 1 + 1/qn-1

wegen Fn-1 < Fn also 1 < qn < 2

Konvergenz also gesichert
Grenzwert
durch gleichsetzen 2er einander Folgender q
bestimmen
q = 1 + 1/q
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Stylar (Stylar)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Neues Mitglied
Benutzername: Stylar

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 17. November, 2003 - 14:41:   Beitrag drucken

qn= 1 + 1/qn-1


Das versteh ich nicht ganz, kannst du das vielleicht erklären?


Grenzwert
durch gleichsetzen 2er einander Folgender q
bestimmen
q = 1 + 1/q
}
Das hab ich auch nicht wirklich kapiert. Ich würde jetzt den Grenzwert folgendermaßen berechnen:
lim qn = lim (1+Fn-1/Fn) = 2 ?!? Meintest du das? Wahrscheinlich nicht, denn ich hab nichts gleichgesetzt... Wäre nett, wenn du mir das noch einmal erklären würdest.

Danke.
Stylar
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1731
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 17. November, 2003 - 18:56:   Beitrag drucken

qn:
aus der Def. qn=Fn+1/Fn
folgt
durch Substitution n -> (n-1)
eben
qn-1=Fn/Fn-1
somit
Fn-1/Fn = 1/qn-1
womit
also 1 + Fn-1/Fn = 1 + 1/qn-1
-----
wenn Konvergenz gesichert ist,
also festesteht, dass eine Folge einen Grenzwert
hat
bedeutet das, wenn qn+1=f(wenn qn) gilt
dass für den
Grenzwert q dann q = f(q) gilt .

Im speziellen Fall also

q = 1 + 1/q, q² = q+1

q² - q - 1 = 0; q = [1 + Wurzel(5)]/2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page