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Zyron (Zyron)
Junior Mitglied
Benutzername: Zyron
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. November, 2003 - 15:05: | 
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ich brauch ma wieder eure hilfe:
Aufgabe:
Kp,+,* seien definiert als:
Kp:={0,1,...,p-1}
+ (Addition modulo p)
* (multiplikation modulo p)
p>=2
z.z. Kp ist ein Körper wenn p eine Primzahl ist.
Ich weiß nicht, wie ich das für nen allgemeinen Fall zeigen soll, hoffentlich habt ihr ne Idee!
Vielen Dank schonmal |
Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 254
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. November, 2003 - 19:30: |
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Hallo Zyron,
ich setze vorraus, dass bekannt ist, dass Kp (für alle p)ein kommutativer Ring ist, das ist leicht zu zeigen, indem man die Axiome durchgeht. Wenn du dazu Fragen hast, helfe ich natürlich gerne.
a) Kp ist höchstens dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist.
Sei i eine natürliche Zahl.
die i*1 = rest(i*1)
Beweis durch Induktion: für i < p ist rest(i)=i
und rest(p) = 0.
b) Wenn p eine Primzahl ist, dann ist Kp ein Körper
mache ich etwas detailierter
zeige zunächst, dass (Kp, +, °) ein Integritätsbereich ist
Seien a, b aus Kp mit a*b=0, d.h. rest(a*b)=0,
d.h. a*b ist teilbar durch p.
Weil p eine Primzahl ist, teilt p a oder b,
d.h. a=0 oder b=0 da K nur die Elemente 0,1,...,p-1 enthält.
Damit ist die Nullteilerfreiheit gezeigt.
Existenz des inversen Elements:
Sei a aus Kp, a!=0.
Betrachte die Abbildung psi: Kp -> Kp durch x |-> x * a
Behauptung: psi ist injektiv
Seien x,y aus Kp mit psi(x)=psi(y)
d.h. x*a = y*a
also (x-y)*a=0
Wegen Nullteilerfreiheit folgt x = y
Da die Menge {psi(0), psi(1), ... psi(p-1) p Elmente hat und psi(0), ... aus Kp sind, und da psi injektiv ist, folgt die menge ist gleich Kp,
also ist psi surjektiv, insbesondere gibt es dann ein b aus Kp mit psi(b) = 1,
d.h. b*a=1, diese b ist das multiplikative Inverse.
Kannst du mir bei meiner Aufgabe (siehe Lineare Algebra_Beweise_Charkteristik endlicher körper) helfen??
Tamara
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