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Zyron (Zyron)
Junior Mitglied
Benutzername: Zyron
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 10-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 20:18: | 
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die Aufgabe lautet:
Gegeben sei ein beliebiger Körper (K,+,*) mit additiv neutralem Element 0 und multiplikativ neutralem Element 1 , sowie negativen Elementen -k und inversen Elementen k^-1 für alle k € K.
Zeigen sie ,dass (KxK, +,*) mit
(a1,a2)+(b1,b2) := (a1+b1.a2+b2)
(a1,a2)*(b1,b2) := (a1*b1-a2*b2,a1*b2+a2*b1)
ein Körper ist.
unser Tutor meinte ist mit viel schreibarbeit verbunden, drum wär ich dankbar wenn mir jemand erklärn könnte, wie ich da ansetze, damit ichs dann selber hinkriege.
bin euch scho jetzt Dankbar |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 193
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 07:45: |
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Du musst einfach die Körperaxiome nachweisen:
(KxK,+,1) Abgeschlossenheit ist trivial
(KxK,+,2) Kommutativität ist wegen der Kommutativität der Addition in K gegeben
(KxK,+,3) Assoziativität ist wegen der Assoziativität der Addition in K gegeben
(Bei diesen beiden Gesetzen kann ja wegen der Definition von "+" auf die gewöhnliche Addition in K verwiesen werden.)
(KxK,+,4) Es gibt ein neutrales Element: (0,0)
(a1,a2)+(0,0)=(a1,a2)
(KxK,+,5) Zu jedem (a1,a2) gibt es ein inverses Element: (-a1,-a2)
(a1,a2)+(-a1,-a2)=(0,0)
So, jetzt wird's etwas schwieriger:
(KxK,*,1) Die Abgeschlossenheit ist trivialerweise erfüllt.
(KxK,*,2) Die Kommutativität muss nachgewiesen werden. Zeige also
(a1,a2)*(b1,b2)=
(a1*b1-a2*b2,a1*b2+a2*b1)=
(b1*a1-b2*a2,b1*a2+b2*a1)=
(b1,b2)*(a1,a2)
(KxK,*,3) Die Assoziativität muss nachgewiesen werden. Zeige also
((a1,a2)*(b1,b2))*(c1,c2)=
(a1,a2)*((b1,b2)*(c1,c2))
Hier steckt die angekündigte Schreibarbeit. Auf der anderen Seite kann man sich aber kaum in Schwierigkeiten bringen. Das kannst du sicher selbst zeigen.
(KxK,*,4) Es gibt ein neutrales Element: (1,0)
Zeige, dass es das Gewünschte leistet:
(a1,a2)*(1,0)=(a1,a2)
(KxK,*,5) Zu jedem (a1,a2) gibt es ein inverses Element (x,y) mit (a1,a2)*(x,y)=(1,0)
Hier muss ein Gleichungssystem gelöst werden
a1*x-a2*y=1
a2*x+a1*y=0
Einmal nach x, einmal nach y auflösen. Es ergibt sich
x=a1/(a1²+a2²)
y=-a2/a1²+a2²)
Alles klar?
Mit freundlichen Grüßen
Jair
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