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Lockere Folge 90 : Volumenberechnung

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Integralrechnung » Lockere Folge 90 : Volumenberechnung « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2953
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 15:52:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Zum runden Geburtstag der LF (Nr.90) gibt es
etwas vom feinsten aus dem aktuellen Gebiet
der Gammafunktion.

Der endliche Bereich MM des R3 wird
begrenzt von den drei Koordinatenebenen eines
orthonormierten Koordinatensystems und der Fläche
mit der Koordinatengleichung
(x/a) ^ p + (y/b) ^ p + (z/c) ^ p = 1 und liegt im
ersten Oktant des Koordinatensystems.
Berechne das Volumen V von MM, ausgedrückt
durch Werte der Gammafunktion.
Man bearbeite die Fälle
a) p = 2 , a = b = c = 1
b) p = 2 , a = 1 , b = 2 , c = 3
c) p = 4 , a = b = c = 1

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 296
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 20:18:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Zu a)

Für p=2,a=b=c=1 erhält man

x^2+y^2+z^2=1,

also eine Kugel mit Mittelpunkt M(0|0) und r=1.

Ich berechne das Rotationsvolumen von y=sqrt(1-x^2):

V=2*pi*int(0,1)[1-x^2]dx

Substitution:

x=t^(1/2) => dx/dt=1/[2*sqrt(t)] => dx=dt/[2*sqrt(t)]

=>

V=pi*int(0,1)[t^(-1/2)*(1-t)]dt

B(p,q)=int(0,1)[t^(p-1)*(1-t)^(q-1)]dt

p-1=-1/2 => p=1/2

q-1=1 => q=2

=>

V=pi*B(1/2,2)

V=[G(1/2)]^3*G(2)/G(5/2)
------------------------

bzw. mit G(1/2)=sqrt(pi),G(2)=G(1+1)=1!=1,G(5/2)=3/4*sqrt(pi):

V=4/3*pi
--------


Gruß,Olaf
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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 297
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 20:37:   Beitrag drucken

Oh,ich hätte die Aufgabenstellung wohl besser lesen sollen.Es soll wohl der begrenzte Bereich außerhalb der Kugel berechnet werden?!


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2956
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 21:22:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Es entsteht das Volumen eines Kugeloktanten.
Mit dem Kugelradius 1 kommt
V = 1/6*Pi
Du bist auf bestem Weg!
es bräuchte bloss noch den Fakror 1/8 vor den Gamma-Termen

MfG
H.R.Moser,megaamth
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 925
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 09:29:   Beitrag drucken

Hi,

leider habe ich wegen sportlicher Betätigung nicht mehr so viel Zeit dieses Wochenende.

Bei c) bin ich noch am rätseln, vielleicht findet Olaf noch was??

Bei b) entsteht ein Ellipsoid, sein Volumen im ersten Oktanten ergibt sich zu pi!

Hierzu kann man eine einfache dreifach Substitution durch führen:

x / a = p ==> dx = a * dp
y / b = q ==> dy = b * dq
z / c = r ==> dz = c * dr

Damit hat man die Aufgabe auf a) zurückgeführt!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2957
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 10:10:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Gut Sport! auf lateinisch:
mens sana in corpore sano sit.

Deine Ueberlegunngen zum Ellipsoid sind richtig!
Für c) geht alles analog mit leicht erhöhtem
Schwierigkeitshgrad.
Einen besonderen Namen für den Körper gibt es meines Wissens nicht.

Eine neue Gamma -Aufgabe wird noch heute
erscheinen!

MfG
H.R.Moser,megamath


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Heavyweight (Heavyweight)
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Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 298
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 10:30:   Beitrag drucken

Hi Megamath,hi Ferdi,

Alles klar,hatte die Aufgabe falsch verstanden.Ich bin nun auch erstmal außer Haus,
später gehts weiter!


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2959
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 10:51:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Meine Anerkennung:
in so kurzer Zeit so Vieles
über die Beta - und Gammafunktion
zu erlernen, das ist mehr, als das halbe Alphabet.
Bravo!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Nummer des Beitrags: 299
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 19:05:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Vielen Dank,ich habe mein Ziel nicht aus den Augen verloren!:-)


Gruß,Olaf
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Heavyweight (Heavyweight)
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Nummer des Beitrags: 300
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 15:59:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Zu b)

Da wir es ja nicht mit einem Rotationsellipsoid zu tun haben,führt doch wohl kein Weg
am Dreifachintegral vorbei,oder?
Wie Ferdis Substitution anzuwenden ist,ist mir noch nicht klar.


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2970
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 21:24:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

ich werde bald die Resultate ins Netz stellen,sowohl die Formen mit der Gammafunktion als auch die einschlägigen Dreifachintegrale.
Ich selbst habe die Ergebnisse mit Hilfe
von Dreifachintegralen ermittelt.
Als Schlussbouquet kommt sowieso
ein nahrhaftes Mehrfachintegral.
Es kann gar nichts schaden,
die Mehrfachintegrale zum Zuge kommen zu lassen,
wo immer es angeht.
Viel Vergnügen mit Mathematik und gute Ideen
wünscht

H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2971
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 21:46:   Beitrag drucken

Hi Olaf,



Das Resultat zu a) lautet:

V = 1/8 GAMMA(½) GAMMA(½) GAMMA(½) / GAMMA(5/2) =

1/8 * 4/3 * Pi = 1/6 Pi

°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
nach einer Formel, die wir später

erläutern.


In Maple - Schreibweise lautet das Dreifachintegral

mit den drei oberen Grenzen 0 , f , g:

0

f: = sqrt(1 – x^2)

g: = sqrt(1 – x^2 – y^2)

V = int(int(int(1,z=0..g),y=0..f),x=0..1) = 1/6 * Pi

Bravo !

Mit freundlichen Grüßen

H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2973
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 08:03:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Bei meinen gestrigen Ausführungen ,Teilaufgabe b),
hat sich ein Tippfehler eingeschlichen.
In der zweiten Zeile muss es richtig heißen:

V =
6/8 GAMMA(½) GAMMA(½) GAMMA (½) / GAMMA(5/2) = Pi

Dies entspricht dem achten Teil des Volumens eines
Ellipsoides mit den Halbachsen 1, 2 , 3.

Die obere Integrationsgrenze bezüglich x ist 1, nicht 0.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2974
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 08:21:   Beitrag drucken

Hi Olaf,


Das Resultat zu c) lautet:

V = 1/64 GAMMA(¼) GAMMA(¼) GAMMA (¼) / GAMMA(7/4) =

1/24 * Pi^3 * sqrt(2) / [Gamma(¾)]^4 ~ 0,810248


In Maple - Schreibweise lautet das Dreifachintegral

mit den drei oberen Grenzen 1 , h , k:

1

h: = sqrt[1 – x^4];

g: = sqrt[1 – x^4 – y^4];

V = int(int(int(1,z=0..k),y=0..h),x=0..1)


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Heavyweight (Heavyweight)
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Nummer des Beitrags: 301
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Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 18:53:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Danke für die Lösungen zu später Stunde!
Bei den Aufgabenteilen a) und b) decken sich bei mir die Resultate der beiden Berechnungsmethoden.

Bei c) gibt es wohl einen Tipfehler,nämlich:

h:=sqrt[1-x^4]

k:=sqrt[1-x^4-y^4]

V=int(int(int(1,z=0..k),y=0..h),x=0..1)

Dennoch hat Maple bei mir Probleme mit dem Integral.Ich erhalte nicht das erwartete
Ergebnis,sondern riesige Ausdrücke.Die Integration nach x wird garnicht mehr ausgeführt.


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 2980
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 19:27:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Der TP ist klar und bei mir handelsüblich.
Dass Maple nicht weiter kommt, ist eigentlich beruhgend.
Irgendwo gibt´s ,wie für uns,auch für Maple
Grenzen.
Hoffentlich sind die Gamma-Resultate richtig,
sie sehen gut und vernünftig aus.
Kommst Du damit zu recht?
Ich habe gegennwärtig etwas zu wenig Zeit,
kunstgerecht auf alles einzugehen.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Nummer des Beitrags: 302
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 19:56:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Kein Problem,ich denke schon.Außerdem ich kann allgemein noch Übung gebrauchen.


Gruß,Olaf

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