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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2953 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 15:52: |
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Hi allerseits Zum runden Geburtstag der LF (Nr.90) gibt es etwas vom feinsten aus dem aktuellen Gebiet der Gammafunktion. Der endliche Bereich MM des R3 wird begrenzt von den drei Koordinatenebenen eines orthonormierten Koordinatensystems und der Fläche mit der Koordinatengleichung (x/a) ^ p + (y/b) ^ p + (z/c) ^ p = 1 und liegt im ersten Oktant des Koordinatensystems. Berechne das Volumen V von MM, ausgedrückt durch Werte der Gammafunktion. Man bearbeite die Fälle a) p = 2 , a = b = c = 1 b) p = 2 , a = 1 , b = 2 , c = 3 c) p = 4 , a = b = c = 1 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 296 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 20:18: |
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Hi Megamath, Zu a) Für p=2,a=b=c=1 erhält man x^2+y^2+z^2=1, also eine Kugel mit Mittelpunkt M(0|0) und r=1. Ich berechne das Rotationsvolumen von y=sqrt(1-x^2): V=2*pi*int(0,1)[1-x^2]dx Substitution: x=t^(1/2) => dx/dt=1/[2*sqrt(t)] => dx=dt/[2*sqrt(t)] => V=pi*int(0,1)[t^(-1/2)*(1-t)]dt B(p,q)=int(0,1)[t^(p-1)*(1-t)^(q-1)]dt p-1=-1/2 => p=1/2 q-1=1 => q=2 => V=pi*B(1/2,2) V=[G(1/2)]^3*G(2)/G(5/2) ------------------------ bzw. mit G(1/2)=sqrt(pi),G(2)=G(1+1)=1!=1,G(5/2)=3/4*sqrt(pi): V=4/3*pi -------- Gruß,Olaf |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 297 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 20:37: |
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Oh,ich hätte die Aufgabenstellung wohl besser lesen sollen.Es soll wohl der begrenzte Bereich außerhalb der Kugel berechnet werden?! Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2956 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 21:22: |
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Hi Olaf, Es entsteht das Volumen eines Kugeloktanten. Mit dem Kugelradius 1 kommt V = 1/6*Pi Du bist auf bestem Weg! es bräuchte bloss noch den Fakror 1/8 vor den Gamma-Termen MfG H.R.Moser,megaamth |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 925 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 09:29: |
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Hi, leider habe ich wegen sportlicher Betätigung nicht mehr so viel Zeit dieses Wochenende. Bei c) bin ich noch am rätseln, vielleicht findet Olaf noch was?? Bei b) entsteht ein Ellipsoid, sein Volumen im ersten Oktanten ergibt sich zu pi! Hierzu kann man eine einfache dreifach Substitution durch führen: x / a = p ==> dx = a * dp y / b = q ==> dy = b * dq z / c = r ==> dz = c * dr Damit hat man die Aufgabe auf a) zurückgeführt! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2957 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 10:10: |
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Hi Ferdi Gut Sport! auf lateinisch: mens sana in corpore sano sit. Deine Ueberlegunngen zum Ellipsoid sind richtig! Für c) geht alles analog mit leicht erhöhtem Schwierigkeitshgrad. Einen besonderen Namen für den Körper gibt es meines Wissens nicht. Eine neue Gamma -Aufgabe wird noch heute erscheinen! MfG H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 298 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 10:30: |
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Hi Megamath,hi Ferdi, Alles klar,hatte die Aufgabe falsch verstanden.Ich bin nun auch erstmal außer Haus, später gehts weiter! Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2959 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 10:51: |
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Hi Olaf Meine Anerkennung: in so kurzer Zeit so Vieles über die Beta - und Gammafunktion zu erlernen, das ist mehr, als das halbe Alphabet. Bravo! MfG H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 299 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. November, 2003 - 19:05: |
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Hi Megamath, Vielen Dank,ich habe mein Ziel nicht aus den Augen verloren! Gruß,Olaf |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 300 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 15:59: |
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Hi Megamath, Zu b) Da wir es ja nicht mit einem Rotationsellipsoid zu tun haben,führt doch wohl kein Weg am Dreifachintegral vorbei,oder? Wie Ferdis Substitution anzuwenden ist,ist mir noch nicht klar. Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2970 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 21:24: |
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Hi Olaf, ich werde bald die Resultate ins Netz stellen,sowohl die Formen mit der Gammafunktion als auch die einschlägigen Dreifachintegrale. Ich selbst habe die Ergebnisse mit Hilfe von Dreifachintegralen ermittelt. Als Schlussbouquet kommt sowieso ein nahrhaftes Mehrfachintegral. Es kann gar nichts schaden, die Mehrfachintegrale zum Zuge kommen zu lassen, wo immer es angeht. Viel Vergnügen mit Mathematik und gute Ideen wünscht H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2971 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 10. November, 2003 - 21:46: |
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Hi Olaf, Das Resultat zu a) lautet: V = 1/8 GAMMA(½) GAMMA(½) GAMMA(½) / GAMMA(5/2) = 1/8 * 4/3 * Pi = 1/6 Pi °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° nach einer Formel, die wir später erläutern. In Maple - Schreibweise lautet das Dreifachintegral mit den drei oberen Grenzen 0 , f , g: 0 f: = sqrt(1 – x^2) g: = sqrt(1 – x^2 – y^2) V = int(int(int(1,z=0..g),y=0..f),x=0..1) = 1/6 * Pi Bravo ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2973 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 08:03: |
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Hi Olaf, Bei meinen gestrigen Ausführungen ,Teilaufgabe b), hat sich ein Tippfehler eingeschlichen. In der zweiten Zeile muss es richtig heißen: V = 6/8 GAMMA(½) GAMMA(½) GAMMA (½) / GAMMA(5/2) = Pi Dies entspricht dem achten Teil des Volumens eines Ellipsoides mit den Halbachsen 1, 2 , 3. Die obere Integrationsgrenze bezüglich x ist 1, nicht 0. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2974 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 08:21: |
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Hi Olaf, Das Resultat zu c) lautet: V = 1/64 GAMMA(¼) GAMMA(¼) GAMMA (¼) / GAMMA(7/4) = 1/24 * Pi^3 * sqrt(2) / [Gamma(¾)]^4 ~ 0,810248 In Maple - Schreibweise lautet das Dreifachintegral mit den drei oberen Grenzen 1 , h , k: 1 h: = sqrt[1 – x^4]; g: = sqrt[1 – x^4 – y^4]; V = int(int(int(1,z=0..k),y=0..h),x=0..1) Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 301 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 18:53: |
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Hi Megamath, Danke für die Lösungen zu später Stunde! Bei den Aufgabenteilen a) und b) decken sich bei mir die Resultate der beiden Berechnungsmethoden. Bei c) gibt es wohl einen Tipfehler,nämlich: h:=sqrt[1-x^4] k:=sqrt[1-x^4-y^4] V=int(int(int(1,z=0..k),y=0..h),x=0..1) Dennoch hat Maple bei mir Probleme mit dem Integral.Ich erhalte nicht das erwartete Ergebnis,sondern riesige Ausdrücke.Die Integration nach x wird garnicht mehr ausgeführt. Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2980 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 19:27: |
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Hi Olaf, Der TP ist klar und bei mir handelsüblich. Dass Maple nicht weiter kommt, ist eigentlich beruhgend. Irgendwo gibt´s ,wie für uns,auch für Maple Grenzen. Hoffentlich sind die Gamma-Resultate richtig, sie sehen gut und vernünftig aus. Kommst Du damit zu recht? Ich habe gegennwärtig etwas zu wenig Zeit, kunstgerecht auf alles einzugehen. MfG H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 302 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 11. November, 2003 - 19:56: |
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Hi Megamath, Kein Problem,ich denke schon.Außerdem ich kann allgemein noch Übung gebrauchen. Gruß,Olaf |
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