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Lockere Folge 89: Zwei uneigentliche ...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2951
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 14:15:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 89 kommt wieder die Gammafunktion
zu Ehren.
Die Aufgabe lautet:

a)
Drücke das uneigentliche Integral
int [ sin x / x^p * dx] , 0 < p < 1
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich
mit Hilfe von Werten der Gammafunktion aus .

b)
ebenso:
drücke das uneigentliche Integral
int [ cos x / x^p * dx] , 0 < p < 1
untere Grenze 0, obere Grenze unendlich
mit Hilfe von Werten der Gammafunktion aus .

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 923
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 15:12:   Beitrag drucken

Hi megamath,

eine harte Nuss! Daher möchte ich erstmal meine Ergebnisse präsentieren, bevor ich mir die ganze Schreibarbeit mache, wenns stimmt, dann wär ich froh und heute abends gibts meinen Weg...

a)

I = pi / ( 2 * G(p) * sin( [p * pi] / 2 )

b)

I = pi / ( 2 * G(p) * cos( [p * pi] / 2 )

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2952
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 15:36:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Die Ergebnisse stimmen, genauer:
ich habe dasselbe Resultat.
Vielleicht rechnet jamand nach,die
legendäre Drittperson,hihi.

Du kannst Dir mit der Niederschrift des Lösungsweges Zeit lassen,
sie würde mich interessieren.
Besten Dank zum voraus

MfG
H.R.Moser megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 924
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 16:58:   Beitrag drucken

Hi,

hier die versproche Herleitung, ich musste drei Bücher und viele meiner alten Unterlagen heranziehen, eine wirklich anspruchsvolle Aufgabe!

Ich mach es mal ausführlich für b) man kann ebenso bei a) vorgehen!

b) ò0 ¥ cos(x) / x^p dx

Wir beginnen bei der Formel

Gamma(p)*Zeta(p) = ò0 ¥ x^(p-1) / e^x - 1 dx

Hierraus kann man erkennen, das:
Gamma(p)*Zeta(p) = ò0 ¥ t^(p-1)*e^-(x*t) dt

Also
1/x^p = 1/Gamma(p) * ò0 ¥ t^(p-1)*e^-(x*t) dt

Setzen wir dies in unser zu bestimmendes Integral ein! Es kommt:

1/Gamma(p) * ò0 ¥ cos(x) dx * ò0 ¥ t^(p-1)*e^-(x*t) dt

Hier kann man die Reihenfolge der Integration vertauschen:

1/Gamma(p) * ò0 ¥ cos(x)*e^-(x*t) dx * ò0 ¥ t^(p-1) dt

Man erhält:

1/Gamma(p) * ò0 ¥ t^p / 1+t^2 dt

Hier wird substituiert! t^2 = q !

Man erhält mit Differentialänderung:

1/(2*Gamma(p)) * ò0 ¥ q^[(p-1)/2] / 1+q dq

Und das ist nichts anderes als

1/(2*Gamma(p)) * B(((p+1)/2),((1-p)/2))

Setzt man nun (p+1)/2 = r sieht man das (1-p)/2 = 1-r.

Also 1/(2*Gamma(p)) * B(r,(1-r)) was nichts anderes als 1/(2*Gamma(p)) * pi / sin(r*pi) ist!

Jetzt noch r = (p+1)/2 zurücksetzen und Addizionstheorem für Sinus anwenden und man erhält schlussendlich:

b = pi / ( 2 * Gamma(p) * cos( (p * pi) / 2 )

Ich hoffe alles war verständlich und bedanke mich für zuhören ...

mfg

PS: Hast du einen anderen Lösungsweg megamath? Was hälst du von diesem?

(Beitrag nachträglich am 08., November. 2003 von tl198 editiert)
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2955
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 17:16:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Meine Zubereitung des Sonntagsbratens
hat geklappt;
es sollte ein Spezialmenü für Geniesser
werden.
Deine Herleitung ist perfekt; besten Dank.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 295
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 17:36:   Beitrag drucken

Hi Megamath,hi Ferdi,

@Ferdi
Auch von mir ein Dankeschön für die ausführliche Lösung!


Gruß,Olaf

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