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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2951 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 14:15: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 89 kommt wieder die Gammafunktion zu Ehren. Die Aufgabe lautet: a) Drücke das uneigentliche Integral int [ sin x / x^p * dx] , 0 < p < 1 untere Grenze 0, obere Grenze unendlich mit Hilfe von Werten der Gammafunktion aus . b) ebenso: drücke das uneigentliche Integral int [ cos x / x^p * dx] , 0 < p < 1 untere Grenze 0, obere Grenze unendlich mit Hilfe von Werten der Gammafunktion aus . Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 923 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 15:12: |
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Hi megamath, eine harte Nuss! Daher möchte ich erstmal meine Ergebnisse präsentieren, bevor ich mir die ganze Schreibarbeit mache, wenns stimmt, dann wär ich froh und heute abends gibts meinen Weg... a) I = pi / ( 2 * G(p) * sin( [p * pi] / 2 ) b) I = pi / ( 2 * G(p) * cos( [p * pi] / 2 ) mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2952 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 15:36: |
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Hi Ferdi Die Ergebnisse stimmen, genauer: ich habe dasselbe Resultat. Vielleicht rechnet jamand nach,die legendäre Drittperson,hihi. Du kannst Dir mit der Niederschrift des Lösungsweges Zeit lassen, sie würde mich interessieren. Besten Dank zum voraus MfG H.R.Moser megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 924 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 16:58: |
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Hi, hier die versproche Herleitung, ich musste drei Bücher und viele meiner alten Unterlagen heranziehen, eine wirklich anspruchsvolle Aufgabe! Ich mach es mal ausführlich für b) man kann ebenso bei a) vorgehen! b) ò0 ¥ cos(x) / x^p dx Wir beginnen bei der Formel Gamma(p)*Zeta(p) = ò0 ¥ x^(p-1) / e^x - 1 dx Hierraus kann man erkennen, das: Gamma(p)*Zeta(p) = ò0 ¥ t^(p-1)*e^-(x*t) dt Also 1/x^p = 1/Gamma(p) * ò0 ¥ t^(p-1)*e^-(x*t) dt Setzen wir dies in unser zu bestimmendes Integral ein! Es kommt: 1/Gamma(p) * ò0 ¥ cos(x) dx * ò0 ¥ t^(p-1)*e^-(x*t) dt Hier kann man die Reihenfolge der Integration vertauschen: 1/Gamma(p) * ò0 ¥ cos(x)*e^-(x*t) dx * ò0 ¥ t^(p-1) dt Man erhält: 1/Gamma(p) * ò0 ¥ t^p / 1+t^2 dt Hier wird substituiert! t^2 = q ! Man erhält mit Differentialänderung: 1/(2*Gamma(p)) * ò0 ¥ q^[(p-1)/2] / 1+q dq Und das ist nichts anderes als 1/(2*Gamma(p)) * B(((p+1)/2),((1-p)/2)) Setzt man nun (p+1)/2 = r sieht man das (1-p)/2 = 1-r. Also 1/(2*Gamma(p)) * B(r,(1-r)) was nichts anderes als 1/(2*Gamma(p)) * pi / sin(r*pi) ist! Jetzt noch r = (p+1)/2 zurücksetzen und Addizionstheorem für Sinus anwenden und man erhält schlussendlich: b = pi / ( 2 * Gamma(p) * cos( (p * pi) / 2 ) Ich hoffe alles war verständlich und bedanke mich für zuhören ... mfg PS: Hast du einen anderen Lösungsweg megamath? Was hälst du von diesem? (Beitrag nachträglich am 08., November. 2003 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2955 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 17:16: |
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Hi Ferdi Meine Zubereitung des Sonntagsbratens hat geklappt; es sollte ein Spezialmenü für Geniesser werden. Deine Herleitung ist perfekt; besten Dank. MfG H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 295 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 17:36: |
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Hi Megamath,hi Ferdi, @Ferdi Auch von mir ein Dankeschön für die ausführliche Lösung! Gruß,Olaf |
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