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Summe einer unendlichen Reihe

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Rosa13 (Rosa13)
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Junior Mitglied
Benutzername: Rosa13

Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 12:40:   Beitrag drucken

Hallo,

Es geht nochmals um die Ermittlung der Summe einer
unendlichen Reihe.
Das allgemeine Glied der Reihe lautet:
an = 1/(4n^2 – 1}, der Summationsindex n geht von
n = 1 bis unendlich.
Wie kann die Summe berechnet werden ?

Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar!
Mit freundlichen Grüßen
Rosa R.
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 716
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 13:01:   Beitrag drucken

Versuche es mal mit Partialbruchzerlegung.

1/(4n²-1) = 1/((2n-1)(2n+1)) = A/(2n-1) + B/(2n+1)

=> 1 = A(2n+1)+B(2n-1) = 2n(A+B)+A-B
=> A=-B=1/2

Also ist S¥ k=1 1/(4n²-1) = (1/2)*S¥ k=1 (1/(2n-1) - 1/(2n+1)) = (1/2) - 0 = (1/2)



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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2950
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 13:05:   Beitrag drucken

Hi Rosa

Hier hilft ebenfalls die Summation der
entsprechenden endlichen Reihe von
n = 1 bis N mit Hilfe des Teleskopverfahrens.

Das geht so:
Mit an = ½ {1/(2n-1) - 1/ (2n+1) }entsteht die Summe
½ {1/1 - 1/3 +1/ 3 - 1/ 5 +…+ 1 / (2N -1) -1/( 2N + 1)}
= ½ { 1 - 1/ [ (2 N+1)}
Für N gegen unendlich geht dies gegen ½ ,
und das ist die Summe der gegebenen unendlichen Reihe.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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