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Coldstone2509 (Coldstone2509)
Junior Mitglied Benutzername: Coldstone2509
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 13:31: |
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Hallo Freunde! Ich habe ein problem bei dieser Aufgabe. Die Aufgabe lautet: Wie oft ist 100 als Summe aufeinander folgender Zahlen darstellbar? - Begründen! Ich konnte leider nur eins finden... 18+ 19+ 20+ 21+ 22 = 100 könnt Ihr mir helfen..bitte! mfg |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 689 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 16:35: |
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Coldstone, Vorschlag: Es soll gelten a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+n-1) = 100 <==> na + n(n-1)/2 = 100 <==> n(n+2a-1) = 200. Damit kommen für n nur die Teiler von 200 in Frage. Da 200 = 2352, so sind die Teiler genau die Zahlen 2i5j mit i e {0,1,2,3} und j e {0,1,2}. Somit sind höchstens 4*3=12 Fälle zu diskutieren. Dein Beispiel entspricht n=5, a= 18. (Beitrag nachträglich am 04., November. 2003 von Orion editiert) mfG Orion
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 831 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 20:35: |
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Hi ihr beiden! Ich muss Coldstone Recht geben. Es gibt nur diese eine Lösung (bis auf die triviale Zahlenfolge {100}). @Orion: Du hast einiges übersehen: Aus der Gleichung n(n+2a-1) folgt mit a>0, dass: n<Wurzel(200) = 10*Wurzel(2) Du schreibst aber "höchstens", also ist es ja nicht falsch. Ich möchte mal die Lösung mit meinem Ansatz erläutern: a + (a+1) + ... + (a+n) = 100 = 1/2*(a² + an + a + an + n² +n - a² + a) = 1/2*(2an + 2a + n² + n) = 1/2*(2a + n)(n + 1) Also: (2a + n)(n+1) = 200 Der linke Faktor ist größer als der rechte. (möglich:20*10, 25*8, 40*5, 50*4, 100*2, 200*1) Außerdem ist klar, dass einer gerade und einer ungerade sein muss. Da fallen alle Lösungen bis auf eine Weg. Das Produkt lautet also: 40*5 = (2a+n)(n+1), also: n = 4, a = 18 Die einzige Folge mit der geforderten Summe ist: 18, 19, 20, 21, 22. MfG Martin ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Coldstone2509 (Coldstone2509)
Junior Mitglied Benutzername: Coldstone2509
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 09:19: |
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Hallo, erstmals vielen dank für eure bemühungen! Martin243 wie kommst du darauf: Ich möchte mal die Lösung mit meinem Ansatz erläutern: a + (a+1) + ... + (a+n) = 100 = 1/2*(a² + an + a + an + n² +n - a² + a) = 1/2*(2an + 2a + n² + n) = 1/2*(2a + n)(n + 1) Wie kommst du von der obersten zeile zur zweiten??? Kann es nicht nachvollziehen! mfg |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 834 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 10:40: |
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Hi! Ich bilde die Summe folgendermaßen: a + (a+1) + ... + (a+n) = [1 + ... + (a+n)] - [1 + ... + (a-1)] Ich bilde also die Summe aller natürlichen Zahlen bis zur letzten Zahl einer Folge (also a+n) und ziehe davon die Summe aller Zahlen bis zum Vorgänger der ersten Zahl einer Folge. Dann benutze ich zweimal die bekannte Summenformel: 1 + ... + n = n(n+1)/2 In diesem Fall: [1 + ... + (a+n)] - [1 + ... + (a-1)] = (a+n)(a+n+1)/2 - (a-1)(a-1+1)/2 = 1/2*[(a+n)(a+n+1) - a(a-1)] Jetzt konsequent ausmultiplizieren. MfG Martin (Beitrag nachträglich am 05., November. 2003 von Martin243 editiert) ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 739 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 21:14: |
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Hallo! Es geht viel einfacher, mit der symmetrischen Bezeichnungsweise! Die mittlere der 5 Zahlen sei x, somit lauten alle fünf Zahlen: x-2, x-1, x, x+1, x+2, deren Summe ist 5x 5x = 100 x = 20! Die einzige Möglichkeit wird also von den Zahlen 18, 19, 20, 21, 22 abgedeckt! Gr mYthos
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Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 712 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 23:32: |
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@Mythos: In der Aufgabe steht nichts davon,daß es 5 aufeinanderfolgende Zahlen sein sollen. Oder habe ich etwas überlesen? Man kann deine Idee allerdings einfach ausbauen. Seien 2n+1 aufeinanderfolgende Zahlen gegeben mit dem Mittwelwert x. Dann ist deren Summe Sn k=-n (x+k) = (2n+1)x Damit die Gleichung 100=(2n+1)x genau dann lösbar in Z, wenn (2n+1)|100 Folglich sind n=2 und n=12 die einzigen Lösungen und 100 ist nur als Summe von 5 oder 25 Zahlen darstellbar. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 740 Registriert: 03-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 23:46: |
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Sorry, da habe ICH tatsächlich was überlesen .... (Beitrag nachträglich am 07., November. 2003 von mythos2002 editiert) |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 837 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 12:32: |
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@Ingo: Es war aber nach natürlichen Zahlen gefragt. Also fallen die 25 Zahlen auf jeden Fall weg. MfG Martin ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 713 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 13:16: |
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quote:Die Aufgabe lautet: Wie oft ist 100 als Summe aufeinander folgender Zahlen darstellbar? - Begründen!
Wo steht da etwas von natürlichen Zahlen? ;)
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 838 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 17:56: |
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@Ingo: Entweder entnimmt man die natürlichen Zahlen einfach so dem Zusammenhang (was ja, wie ich zugebe, nicht unbedingt richtig sein muss) oder man sagt, dass deine Lösung falsch ist, denn es gibt trivialerweise (wenn man Coldstones erste Lösung kennt) mindestens noch eine: S 22 i=-17i = S17 i=-17i + S22 i=18i = S22 i=18i = 100 Das sind dann aber 40 Zahlen! Vielleicht überdenkst du deinen Ansatz und schaust mal, ob es nicht noch mehr Lösungen gibt? Ich weiß es momentan ganz ehrlich nicht. MfG Martin (Beitrag nachträglich am 07., November. 2003 von Martin243 editiert) ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 839 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 18:01: |
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... wo wir gerade bei trivialen Lösungen sind: Was haltet ihr von: S100 i=-99 i = 100 ? Und warum haben wir ausnahmslos alle diese Lösung übersehen: 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 100 ? Auch ich habe sie übersehen, auch wenn sie aus meinem Lösungsansatz hervorgeht... Ich denke, dass lagsam die möglichen Lösungen zur Neige gehen... MfG Martin (Beitrag nachträglich am 07., November. 2003 von Martin243 editiert) ________ Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren. Galileo Galilei
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Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 714 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 00:46: |
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Da ich gleich ins Bett will nur ein kurzes Statement. Mein Ansatz(und letztendlich auch der von Mythos) beruht auf der Annahme, daß es eine ungerade Anzahl von Zahlen sein müssen. Dies ist - wie man an der von Dir aufgeführten Lösung sieht - falsch. Ich werde mir morgen noch mal ein paar Gedanken dazu machen.
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Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 715 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 12:33: |
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ok, einen Nacht drüber geschlafen und etwas mehr erleuchtet *fg Für ungerade Anzahl von Zahlen haben wir oben den Beweis stehen. Wenn es sich um eine gerade Anzahl handelt, so beweist man es ähnlich. 100 = Sn-1 k=-n(x+k) = (x-n)+Sn-1 k=-(n-1)(x+k) = (x-n)+(2(n-1)+1)x = (x-n)+(2n-1)x = 2nx-n = n(2x-1) Da 2x-1 ungerade ist, benötigen wir nur noch alle Zerlegungen von 100 in einen ungeraden und einen beliebigen Faktor. 100 = 1*100 = 5*20 = 25*4 Folglich sind die Lösungen mit geraden Anzahl Summanden
- x=1 und n=100 --> (-99)+(-98)+...+100 = 100 ,
- x=3 und n=20 --> (-17)+(-16)+...+22 = 100,
- x=13 und n=4 --> 9+10+11+...+16 = 100
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