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Zwei Grenzwerte von Folgen

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Rosa13 (Rosa13)
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Junior Mitglied
Benutzername: Rosa13

Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 02-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 09:41:   Beitrag drucken

Hallo

Ich habe ein Problem bei der Ermittlung von Grenzwerten.
Die Aufgaben lauten:
man bestimme die Grenzwerte für n gegen unendlich
der Folgen
a) an = (1 - 5/n) ^ (6n) b) bn = {( n – 3 ) / (n + 2) } ^ (2n+5)

Vielen Dank im Voraus

Rosa R.
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1657
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 10:24:   Beitrag drucken

in beiden Fällen:
Grenzwert = e^( Grenzwert des ln )
der
Grenzwert des ln ist ein "unendlich*0" Fall,
der
in "( 0 / (1/unendlich) )" umgeformt
mit
L'Hospital Lösbar ist.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2945
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 10:27:   Beitrag drucken

Hi Rosa

ad a)

Wir formen den Term für an um:
an = [ (1 - 5/n) ^ n ] ^ 6 ;
der Klammerinhalt strebt für n gegen unendlich nach e ^ (-5) ,
mithin an gegen e^ (-30).

ad b)

Wir formen den Term für bn um:
bn = [ (n+2-5) / (n+2) ] ^ (2n+5) = [ 1 - 5 / (n + 2) ] ^ (2n+5)
Setze n = m + 2: ; mit n strebt auch m gegen unendlich.
In m lautet das allgemeine Glied der Folge
b (m) = [1 – 5 / m] ^ (2m+1) =[(1 – 5 / m) ^ m] ^2 * (1 – 5 / m)
der Inhalt der eckigen Klammer strebt für m gegen unendlich
nach e ^ (-5) , der Inhalt der runden Klammer gegen 1;
somit ist der gesuchte Grenzwert der Folge bn:
(e ^ -5) ^ 2 = e ^ (-10).

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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