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Summe aufeinander folgender Zahlen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Lehramt Mathematik » Summe aufeinander folgender Zahlen « Zurück Vor »

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Coldstone2509 (Coldstone2509)
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Junior Mitglied
Benutzername: Coldstone2509

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 13:31:   Beitrag drucken

Hallo Freunde!

Ich habe ein problem bei dieser Aufgabe.
Die Aufgabe lautet: Wie oft ist 100 als Summe aufeinander folgender Zahlen darstellbar? - Begründen!

Ich konnte leider nur eins finden...
18+ 19+ 20+ 21+ 22 = 100

könnt Ihr mir helfen..bitte!

mfg
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 689
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 16:35:   Beitrag drucken

Coldstone,

Vorschlag: Es soll gelten

a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+n-1) = 100 <==>

na + n(n-1)/2 = 100 <==>

n(n+2a-1) = 200.

Damit kommen für n nur die Teiler von 200 in Frage.
Da 200 = 2352, so sind die Teiler genau
die Zahlen 2i5j mit i e {0,1,2,3} und
j e {0,1,2}. Somit sind höchstens 4*3=12 Fälle zu diskutieren.
Dein Beispiel entspricht n=5, a= 18.


(Beitrag nachträglich am 04., November. 2003 von Orion editiert)
mfG Orion
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 831
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 04. November, 2003 - 20:35:   Beitrag drucken

Hi ihr beiden!

Ich muss Coldstone Recht geben. Es gibt nur diese eine Lösung (bis auf die triviale Zahlenfolge {100}).

@Orion: Du hast einiges übersehen:
Aus der Gleichung n(n+2a-1) folgt mit a>0, dass: n<Wurzel(200) = 10*Wurzel(2)
Du schreibst aber "höchstens", also ist es ja nicht falsch.


Ich möchte mal die Lösung mit meinem Ansatz erläutern:
a + (a+1) + ... + (a+n) = 100
= 1/2*(a² + an + a + an + n² +n - a² + a)
= 1/2*(2an + 2a + n² + n)
= 1/2*(2a + n)(n + 1)

Also:
(2a + n)(n+1) = 200

Der linke Faktor ist größer als der rechte. (möglich:20*10, 25*8, 40*5, 50*4, 100*2, 200*1)
Außerdem ist klar, dass einer gerade und einer ungerade sein muss. Da fallen alle Lösungen bis auf eine Weg. Das Produkt lautet also: 40*5 = (2a+n)(n+1), also:
n = 4, a = 18

Die einzige Folge mit der geforderten Summe ist: 18, 19, 20, 21, 22.


MfG
Martin
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Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
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Coldstone2509 (Coldstone2509)
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Benutzername: Coldstone2509

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 09:19:   Beitrag drucken

Hallo,

erstmals vielen dank für eure bemühungen!


Martin243 wie kommst du darauf:

Ich möchte mal die Lösung mit meinem Ansatz erläutern:
a + (a+1) + ... + (a+n) = 100
= 1/2*(a² + an + a + an + n² +n - a² + a)
= 1/2*(2an + 2a + n² + n)
= 1/2*(2a + n)(n + 1)


Wie kommst du von der obersten zeile zur zweiten???
Kann es nicht nachvollziehen!

mfg
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 834
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. November, 2003 - 10:40:   Beitrag drucken

Hi!

Ich bilde die Summe folgendermaßen:
a + (a+1) + ... + (a+n) = [1 + ... + (a+n)] - [1 + ... + (a-1)]

Ich bilde also die Summe aller natürlichen Zahlen bis zur letzten Zahl einer Folge (also a+n) und ziehe davon die Summe aller Zahlen bis zum Vorgänger der ersten Zahl einer Folge. Dann benutze ich zweimal die bekannte Summenformel: 1 + ... + n = n(n+1)/2

In diesem Fall:
[1 + ... + (a+n)] - [1 + ... + (a-1)] = (a+n)(a+n+1)/2 - (a-1)(a-1+1)/2
= 1/2*[(a+n)(a+n+1) - a(a-1)]

Jetzt konsequent ausmultiplizieren.


MfG
Martin

(Beitrag nachträglich am 05., November. 2003 von Martin243 editiert)
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Galileo Galilei
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 739
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 21:14:   Beitrag drucken

Hallo!

Es geht viel einfacher, mit der symmetrischen Bezeichnungsweise!

Die mittlere der 5 Zahlen sei x, somit lauten alle fünf Zahlen:

x-2, x-1, x, x+1, x+2, deren Summe ist 5x

5x = 100
x = 20!
Die einzige Möglichkeit wird also von den Zahlen 18, 19, 20, 21, 22 abgedeckt!

Gr
mYthos
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 712
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 23:32:   Beitrag drucken

@Mythos: In der Aufgabe steht nichts davon,daß es 5 aufeinanderfolgende Zahlen sein sollen. Oder habe ich etwas überlesen?
Man kann deine Idee allerdings einfach ausbauen.

Seien 2n+1 aufeinanderfolgende Zahlen gegeben mit dem Mittwelwert x. Dann ist deren Summe
Sn k=-n (x+k) = (2n+1)x

Damit die Gleichung 100=(2n+1)x genau dann lösbar in Z, wenn (2n+1)|100
Folglich sind n=2 und n=12 die einzigen Lösungen und 100 ist nur als Summe von 5 oder 25 Zahlen darstellbar.





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Mythos2002 (Mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 740
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. November, 2003 - 23:46:   Beitrag drucken

Sorry, da habe ICH tatsächlich was überlesen ....

(Beitrag nachträglich am 07., November. 2003 von mythos2002 editiert)
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Martin243 (Martin243)
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Nummer des Beitrags: 837
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 12:32:   Beitrag drucken

@Ingo:

Es war aber nach natürlichen Zahlen gefragt. Also fallen die 25 Zahlen auf jeden Fall weg.


MfG
Martin
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 713
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 13:16:   Beitrag drucken


quote:

Die Aufgabe lautet: Wie oft ist 100 als Summe aufeinander folgender Zahlen darstellbar? - Begründen!




Wo steht da etwas von natürlichen Zahlen? ;)
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 838
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 17:56:   Beitrag drucken

@Ingo:

Entweder entnimmt man die natürlichen Zahlen einfach so dem Zusammenhang (was ja, wie ich zugebe, nicht unbedingt richtig sein muss) oder man sagt, dass deine Lösung falsch ist, denn es gibt trivialerweise (wenn man Coldstones erste Lösung kennt) mindestens noch eine:

S 22 i=-17i = S17 i=-17i + S22 i=18i = S22 i=18i = 100

Das sind dann aber 40 Zahlen!

Vielleicht überdenkst du deinen Ansatz und schaust mal, ob es nicht noch mehr Lösungen gibt? Ich weiß es momentan ganz ehrlich nicht.


MfG
Martin

(Beitrag nachträglich am 07., November. 2003 von Martin243 editiert)
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 839
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 07. November, 2003 - 18:01:   Beitrag drucken

... wo wir gerade bei trivialen Lösungen sind:

Was haltet ihr von:

S100 i=-99 i = 100 ?


Und warum haben wir ausnahmslos alle diese Lösung übersehen:
9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 100 ?

Auch ich habe sie übersehen, auch wenn sie aus meinem Lösungsansatz hervorgeht...

Ich denke, dass lagsam die möglichen Lösungen zur Neige gehen...


MfG
Martin

(Beitrag nachträglich am 07., November. 2003 von Martin243 editiert)
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 714
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 00:46:   Beitrag drucken

Da ich gleich ins Bett will nur ein kurzes Statement.
Mein Ansatz(und letztendlich auch der von Mythos) beruht auf der Annahme, daß es eine ungerade Anzahl von Zahlen sein müssen. Dies ist - wie man an der von Dir aufgeführten Lösung sieht - falsch.

Ich werde mir morgen noch mal ein paar Gedanken dazu machen.
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 715
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Samstag, den 08. November, 2003 - 12:33:   Beitrag drucken

ok, einen Nacht drüber geschlafen und etwas mehr erleuchtet *fg

Für ungerade Anzahl von Zahlen haben wir oben den Beweis stehen. Wenn es sich um eine gerade Anzahl handelt, so beweist man es ähnlich.
100 = Sn-1 k=-n(x+k)
= (x-n)+Sn-1 k=-(n-1)(x+k)
= (x-n)+(2(n-1)+1)x
= (x-n)+(2n-1)x
= 2nx-n
= n(2x-1)

Da 2x-1 ungerade ist, benötigen wir nur noch alle Zerlegungen von 100 in einen ungeraden und einen beliebigen Faktor.

100 = 1*100 = 5*20 = 25*4

Folglich sind die Lösungen mit geraden Anzahl Summanden
  • x=1 und n=100 --> (-99)+(-98)+...+100 = 100 ,
  • x=3 und n=20 --> (-17)+(-16)+...+22 = 100,
  • x=13 und n=4 --> 9+10+11+...+16 = 100

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