| Autor |
Beitrag |
    
Kaox (Kaox)
Neues Mitglied
Benutzername: Kaox
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 15:18: | 
|
Hallo, stehe gerade ein bißchen auf´m Schlauch. Folgendes Problem:
Zeigen Sie: das Produkt dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen - von denen die kleinste größer als 1 sei - ist stets durch 24 teilbar. Es muß mit einer ungeraden ZAhl begonnen werden.
Ich hab da schon nen Ansatz:
24 teilt (a-1)x a x (a+1)
24 teilt (a²-1²) x a
24 teilt a³-a
nun fehlt mir aber die zündende Idee, ich kann zwar noch beweisen, dass a³-a immer eine gerade Zahl und grösser gleich 24 ist, aber das bringt mich irgenwie auch nicht weiter...Irgenwer ne Idee??? |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 825
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 16:27: |
|
Hi!
So, wie die Aufgabenstellung lautet, ist die Aussage aber falsch.
Nehmen wir drei aufeinanderfolgende Zahlen: 3,4,5.
3 ist größer als 1 und ungerade, also entspricht unsere Wahl den Voraussetzungen, aber 3*4*5=60 ist nicht durch 24 teilbar.
Deinem Beweisansatz entnehme ich, dass du möglicherweise meinst, dass die mittlere Zahl ungerade sein soll. Das ist auch die einzig vernünftige Alternative.
Seien also a,b,c drei natürliche Zahlen mit 1<a=b-1=c-2 und b ungerade.
Dann sind a und c gerade; also existieren natürliche Zahlen m,n, so dass gilt: a=2m und c=2n.
Außerdem ist jede zweite gerade Zahl durch 4 teilbar, denn:
Sei o.B.d.A. m ungerade, dann existiert eine natürliche Zahl o mit : a = 2m = 2(2o+1), also m = 2o+1. Dann wäre c = 2m+2 = 2(2o+1)+2 = 4o+2+2 = 4(o+1), also c durch 4 teilbar.
Wir wissen also, dass a*b*c durch 2*4=8 teilbar ist.
Da aber jede dritte natürliche Zahl unweigerlich durch 3 teilbar ist, ist a*b*c auch durch 3 teilbar.
Und schließlich wissen wir, dass 8 und 3 teilerfremd sind, so dass a*b*c durch 3*8=24 teilbar ist.
MfG
Martin
________
Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:
Die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren.
Galileo Galilei
|
Kaox (Kaox)
Neues Mitglied
Benutzername: Kaox
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 22:18: |
|
Mit der Aufgabenstellung hast du vollkommen recht, mein Fehler!
Besten Dank!!!!!!!!!!!!!
Stephan |
|
