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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2902
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 14:12: | 
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Hi allerseits,
In der Aufgabe LF 79 geht es wieder um komplexe Zahlen.
Gegeben ist die Abbildung
(w + 1) ^ 2 = 4 / z
der z-Ebene mit z = x+ i y in eine w- Ebene mit w = u + i v.
Welches is das Bild des Einheitskreises abs (z) = 1 der z-Ebene
in der w-Ebene ?
(Beachte, dass ein Punkt der Kreislinie der z-Ebene zwei Bilder
in der w-Ebene hat).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2911
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 15:19: |
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Hi allerseits,
Es folgt eine Skizze einer Lösung der Aufgabe LF 79:
Mit z = x + i y und w = u + i v
lautet die Abbildungsgleichung:
(u + 1 + i v ) ^ 2 = 4 ( x – i y ) / (x^2 + y^2)
Da z auf dem Kreis abs (z) = 1 liegt, gilt
x^2 + y^2 = 1 und die rechte Seite kann stark
vereinfacht werden.
Trennt man Realteil und Imaginärteil, so erhalten
wir die beide Gleichungen:
u^2 – v^2 + 1 + 2 u = 4 x
2 u v + 2 v = - 4 y
Diese Gleichungen wollen wir quadrieren und addieren.
Wiederum benützen wir x^2 + y^2 = 1 und erreichen
dadurch die Relation
(u ^ 2 – v ^ 2 + 1 + 2 u ) ^ 2 + 4 v ^ 2 (u + 1) ^ 2 = 16
Wir zerlegen, recht mühsam, die auf null gebrachte
Beziehung in Linearfaktoren;
Resultat:
(u^2 + v^2 + 2 u +5) * (u^2 + v^2 +2 u – 3) = 0
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Die erste Klammer, null gesetzt, ergibt einen imaginären Kreis
Die zweite Klammer, null gesetzt, ergibt einen reellen Kreis,
Mittelpunkt M(-1 / 0) , Radius r = 2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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