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beweis ungleichung

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Zyron (Zyron)
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Junior Mitglied
Benutzername: Zyron

Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 18:44:   Beitrag drucken

hi,ich habe probleme mit dem beweis per vollständige induktion folgender ungleichung:
8n^2 < 2^n/2
es gilt ab n>= 11 , nur krieg ich den schluss nicht gebacken. nachdem ich die induktionsvoraussetzung eingesetz habe, find ich keinen weg die rechte seite zu erzeugen.
wäre kewl, wenn mir da jemand behilflich sein könnte

mfg Dennis
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Carpediem (Carpediem)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem

Nummer des Beitrags: 132
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 20:37:   Beitrag drucken

Du hast leider keine Klammern gesetzt, aber ich rate einmal, dass du meinst:

8n2 < 2n/2

Nach einigen Umformungen hat man die äquivalente Ungleichung:

n2 < 2n-4

Wenn du die Induktionsvoraussetzung einsetzt und umformst, bleibt:

2n+1 < 2n-4

Das ist keineswegs selbstverständlich. Du musst leider nochmals Induktion machen. Danach bleibt dir übrig:

2 < 2n-4

Und das ist eine wahre Aussage für n ³ 11.

werbungsfriedhof@hotmail.com
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Aktuar (Aktuar)
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Mitglied
Benutzername: Aktuar

Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 20:45:   Beitrag drucken

Hallo Dennis,

ich forme die zu beweisende Ungleichung äquivalent um:

8n^2 < 2^n/2 <=> 16n^2 < 2^n <=> n^2 < 2^(n-4).

Induktionsverankerung:
11^2 = 121 < 128 = 2^(11-4).

Zu zeigen: Aus n^2 < 2^(n-4) folgt auch
(n+1)^2 < 2^(n-3).

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 < 2n^2 wegen 2n+1 < n^2 für n>2. Beweis: n^2 - 2n = n(n-2) > 1 für n>2.

Also (n+1)^2 < 2n^2 < 2*2^(n-4) = 2^(n-3), was zu zeigen war.

Gruß

Michael
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Carpediem (Carpediem)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem

Nummer des Beitrags: 133
Registriert: 09-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 21:07:   Beitrag drucken

Sehr elegant, Aktuar. Durch den Trick mit dem n(n-2) ersparst du dir die 2. Induktion. Den Schmäh werde ich mir merken.

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Zyron (Zyron)
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Junior Mitglied
Benutzername: Zyron

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 21:19:   Beitrag drucken

klasse, vielen dank, da wär ich nie drauf gekommen. ich kanns zwar nun nachvollziehen, aber selber hätt ichs so nicht gepackt.
vielen vielen dank

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