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Beitrag |
    
Rosa13 (Rosa13)
Junior Mitglied
Benutzername: Rosa13
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 13:40: | 
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Hallo,
Wer hilft mir bei der folgenden Aufgabe:
Man gebe für jedes epsilon > 0 eine Zahl n = n(epsilon),
sodass für alle n > n(epsilon) der absolute Betrag
der Differenz (1 - 1/n^2) ^ n - 1 kleiner als epsilon ist.
Für jede Hilfe bin ich shr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
Rosa,R
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Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 122
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 16:31: |
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Hi Rosa,
deine Differenz kannst du auch schreiben als
1^n - (1 - 1/n^2)^n und für die Differenz gibts die Formel
x^n - y^n = (x - y) * (x^(n-1) + x^(n-2)*y + ... + y^(n-1)).
Wenn du das verwendest kriegst du eine schöne Abschätzung für die Differenz, die du mit epsilon gleichsetzen und nach n auflösen kannst. |
Rosa13 (Rosa13)
Junior Mitglied
Benutzername: Rosa13
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 19:09: |
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Hallo Sotux,
Besten Dank für Deine Hilfe.
Es ist mir leider nicht gelungen,
deinen Vorschlag nutzbringend anzuwenden.
Kannst Du mir bitte zeigen,wie man für
eps = 0.0001 das zugehörige n explizit
berechnet?
Besten Dank im Voraus
MfG
Rosa R. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 123
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 23:02: |
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Hallo Rosa,
wenn du die Formel anwendest hast du
1 - (1 - 1/n^2)^n = (1-1+1/n^2)*(Summe k=0 bis n-1 von (1-1/n^2)^k). Die Summanden sind alle höchstens 1, also kannst du die Summe abschätzen durch n und du hast insgesamt
1 - (1 - 1/n^2)^n <= 1/n, d.h. dass du mit
n(epsilon) = entier(1/epsilon)+1 (also aufgerundet) auf der sicheren Seite liegst. Für epsilon=0.0001 wäre also 10001 geeignet.
Wenn dir das zu schnell geht, schreib dir die Umformungen nochmal ausführlicher auf. Wichtig ist eigentlich nur, dass du irgendein n(epsilon) mit der Eigenschaft finden sollst, deshalb kannst du mit Abschätzungen arbeiten. Viel schwieriger wäre, das kleinstmögliche solche n(epsilon) zu finden ! |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 704
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 23:27: |
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Mein (zugegebener Maßen noch nicht völlig durchdachte) Idee wäre :
(1-(1/n²))n = Sn k=0 (nk)(-1/n²)k > 1-n*1/n² = 1-1/n
Also genügt es ein n zu finden, für das 1-(1-1/n)<e. Dies ist für n>1/e der Fall.
Was man da noch zeigen müsste wäre die erste Abschätzung, also letztendlich
(n2k)(-1/n²)2k > (n2k+1)(1/n²)2k+1
Ich denke mal das wird auf einen Vergleich der Binomialkoeffizienten herauslaufen, habe es aber nicht weiter geprüft.
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 705
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 23:29: |
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Sotux Idee ist da weitaus eleganter ;-) |
