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Coldstone2509 (Coldstone2509)
Neues Mitglied Benutzername: Coldstone2509
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 19:43: |
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Hallo; Komme bei dieser aufgabe nicht weiter! Kann mir bitte jemand helfen???? Aufgabe: Sie schütten eine Ladung Tischtennisbälle in einen großen Karton. Wie viele passen ungefähr hinein? Erste Teilaufgabe: Wenn die Bälle in bestmöglicher Weise regelmäßig gestapelt wären, wie Orangen im Obstladen, wie viele wären es dann etwa? Zweite Teilaufgabe: Dieses Problem ist in voller Allgemeinheit erst jüngst mathematisch gelöst worden. Finden Sie mehr darüber heraus. (Personen, Begriffe, Länge des Beweises usw.)
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 818 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 22:35: |
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Hi! Sei a*b*c = V das Volumen des Kartons und d der Durchmesser eines Balls. Dann erhalten wir bei einer losen Anordnung in einem kubischen Gitter ungefähr: xlose = a/d * b/d * c/d = a*b*c / d3 = V / d3 Bälle Nun wollen wir das aber etwas dichter machen. Das erreichen wir, indem wir die Schichten in einer Richtung gegeneinander verschieben. Dadurch ragt zwar jede zweite Schicht mit je einem Radius in der Länge über den ursprünglichen Umriss hinaus, aber wenn der Karton groß genug ist, können wir dies vernachlässigen. Nun betrachten wir folgende - zugegebenermaßen hässliche - Skizze: Die beiden eingezeichneten Dreiecke sind gleichseitig mit einer Seitenlänge von d. Also beträgt die Höhe eines solchen Dreiecks: h = d*sin 60° = d/2*Wurzel(3) Nun entspricht diese Höhe der vertikalen Entfernung zweier übereinander liegender Kugelmittelpunkte, also - salopp gesagt - der neuen Schichtdicke. Wir haben also in der Höhe etwas dazugewonnen, Breite und Höhe bleiben gleich. Nun passen in unseren Karton: x1 = a/d * b/d * c/(d/2*Wurzel(3)) = 2/Wurzel(3) * a*b*c / d3 = 2/Wurzel(3) * V / d3 = ca. 1,155 * V / d3 Bälle Also ein Gewinn von gut 15%. Verschieben wir die Schichten in x- und y-Richtung gegeneinander, so dass die Kugeln der einen Schicht in den Kuhlen der Schicht darunter landen, so erhalten wir sogar: x2 = a/d * b/d * c/(d*sin 45°) = Wurzel(2) * a*b*c / d3 = Wurzel(2) * V / d3 = ca. 1,414 * V / d3 Bälle Also gut 41% dazugewonnen. Das entspricht dann wohl den Orangen. Wie es noch dichter geht, weiß ich jetzt nicht. Dafür reicht mein Sinn fürs Dreidimensionale um diese Zeit nicht mehr. Zu der zweiten Teilaufgabe würde ich einfach mal Google konsultieren... MfG Martin |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2887 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 07:15: |
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Hi Ekiz, Hi Martin Ein faszinierendes Problem,seit Kepler @Martin Deine Arbeit ist interessant und lehrreich. Der Vollständigkeit halber erwähne ich etwas Literatur zum Thema: 1. Aus dem Vieweg-Verlag Mathematik für Schüler und Studenten Max Leppmeier Kugelpackungen von Kepler bis heute. 2. in englischer Sprache: George G. Szpiro: Kepler´s Conjecture. How some of the greatest minds in history helped solve one of the oldest math problems in the world. John Wiley & Sons, Hoboken (NJ) Das Resultat lautet: Die dichteste Kugelpackung ist die so genannte hexagonale, wie schon Kepler (1571-1630) vermutete. Es sind ca. 74,05% des Volumens, das durch keine andere Packung übertroffen werden kann. Der Beweis dieses Satzes ist erst mittels des Einsatzes von Computern im Jahr 1998 von Tom Hales von der Universität Michigan gelungen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2891 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 13:20: |
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Hi Ekiz, Eng mit der Frage nach der dichtesten Kugelpackung verbunden ist das Problem von Newton / Gregory; diese Frage lautet: Kann eine Kugel 13 andere, ihr gleichgroße Kugeln, berühren? Newton verneinte dies, Gregory bejahte es. Die endgültige Entscheidung dahingehend, dass dies nicht möglich ist, gelang erst ~ 250 Jahre später im Jahr 1950. Einer der Beweise stammt von dem damals an der Uni Zürich wirkenden berühmten Mathematiker Bartel Leendert van der Waerden (1903 – 1996). Soviel summa summarum Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Coldstone2509 (Coldstone2509)
Neues Mitglied Benutzername: Coldstone2509
Nummer des Beitrags: 4 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 15:31: |
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Hallo Megamath; erstmals vielen dank für eure mühe! Wie kommst du auf die 74 %? Wie kann ich dies Zeigen? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2893 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 15:56: |
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Hi Ekiz, In den genannten Büchern ujnd wohl auch in Google findest Du Angaben zu den Packunngsdichten. Die Herleitungen sind weitläufig. Sie sind mir in den Einzelheiten nicht bekannt. MfG H.R.Moser,megamath |
Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 819 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 17:35: |
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Hi, Ihr beiden! @Megamath: Ich habe wohl mit meiner letzten Lösung Keplers Idee nachvollzogen. @CS2509: Nimm meine letzte Lösung: Ich sprach von ca. 1,414 * V / d3 Bällen, also Wurzel(2)*V/d3 Das Volumen eines Balls ist: v = 4/3*p*r3 = 4/3*p*(d/2)3 = 1/6*p*d3 Also beträgt das Gesamtvolumen aller in den Karton hineinpassenden Bälle: Wurzel(2)*V/d3 * v = Wurzel(2)*V/d3*1/6*p*d3 = Wurzel(2) / 6 * p * V Der Faktor vor dem V ist aber: Wurzel(2) / 6 * p = ca. 0,7405 = 74,05% Hmmm, dann ging es ja tatsächlich nicht dichter. Und ich wollte heute weiterrechnen... Danke Megamath! MfG Martin
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2894 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 19:16: |
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Bravo Martin Gratulation! MfG H.R.Moser,megamath |
Coldstone2509 (Coldstone2509)
Neues Mitglied Benutzername: Coldstone2509
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 23:19: |
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Hallo MARTIN243; "Also beträgt das Gesamtvolumen aller in den Karton hineinpassenden Bälle: Wurzel(2)*V/d3 * v = Wurzel(2)*V/d3*1/6*p*d3 = Wurzel(2) / 6 * p * V " Was meinst du mit dem ersten ausdruck: Wurzel(2)*V/d3 * v und wozu steht das kleine v???
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Martin243 (Martin243)
Senior Mitglied Benutzername: Martin243
Nummer des Beitrags: 821 Registriert: 02-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 11:32: |
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Das ist das Volumen eines Balls. Es steht in der Zeile davor, da ich das Kugelvolumen separat ausgerechnet und dann eingesetzt habe. MfG Martin |