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Kugeln Packen

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Coldstone2509 (Coldstone2509)
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Benutzername: Coldstone2509

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 19:43:   Beitrag drucken

Hallo;

Komme bei dieser aufgabe nicht weiter! Kann mir bitte jemand helfen????

Aufgabe:
Sie schütten eine Ladung Tischtennisbälle in einen großen Karton. Wie viele passen ungefähr hinein?
Erste Teilaufgabe: Wenn die Bälle in bestmöglicher Weise regelmäßig gestapelt wären, wie Orangen im Obstladen, wie viele wären es dann etwa?

Zweite Teilaufgabe: Dieses Problem ist in voller Allgemeinheit erst jüngst mathematisch gelöst worden. Finden Sie mehr darüber heraus. (Personen, Begriffe, Länge des Beweises usw.)
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 818
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Oktober, 2003 - 22:35:   Beitrag drucken

Hi!

Sei a*b*c = V das Volumen des Kartons und d der Durchmesser eines Balls.
Dann erhalten wir bei einer losen Anordnung in einem kubischen Gitter ungefähr:
xlose = a/d * b/d * c/d = a*b*c / d3 = V / d3 Bälle

Nun wollen wir das aber etwas dichter machen. Das erreichen wir, indem wir die Schichten in einer Richtung gegeneinander verschieben. Dadurch ragt zwar jede zweite Schicht mit je einem Radius in der Länge über den ursprünglichen Umriss hinaus, aber wenn der Karton groß genug ist, können wir dies vernachlässigen.
Nun betrachten wir folgende - zugegebenermaßen hässliche - Skizze:
Kugelpackung
Die beiden eingezeichneten Dreiecke sind gleichseitig mit einer Seitenlänge von d. Also beträgt die Höhe eines solchen Dreiecks:
h = d*sin 60° = d/2*Wurzel(3)

Nun entspricht diese Höhe der vertikalen Entfernung  zweier übereinander liegender Kugelmittelpunkte, also - salopp gesagt - der neuen Schichtdicke.

Wir haben also in der Höhe etwas dazugewonnen, Breite und Höhe bleiben gleich.
Nun passen in unseren Karton:
x1 = a/d * b/d * c/(d/2*Wurzel(3)) = 2/Wurzel(3) * a*b*c / d3 = 2/Wurzel(3) * V / d3 = ca. 1,155 * V / d3 Bälle

Also ein Gewinn von gut 15%.


Verschieben wir die Schichten in x- und y-Richtung gegeneinander, so dass die Kugeln der einen Schicht in den Kuhlen der Schicht darunter landen, so erhalten wir sogar:
x2 = a/d * b/d * c/(d*sin 45°) = Wurzel(2) * a*b*c / d3 = Wurzel(2) * V / d3 = ca. 1,414 * V / d3 Bälle

Also gut 41% dazugewonnen.

Das entspricht dann wohl den Orangen.


Wie es noch dichter geht, weiß ich jetzt nicht. Dafür reicht mein Sinn fürs Dreidimensionale um diese Zeit nicht mehr.

Zu der zweiten Teilaufgabe würde ich einfach mal Google konsultieren...


MfG
Martin
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2887
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 07:15:   Beitrag drucken

Hi Ekiz, Hi Martin

Ein faszinierendes Problem,seit Kepler
@Martin
Deine Arbeit ist interessant und lehrreich.
Der Vollständigkeit halber erwähne ich etwas
Literatur zum Thema:

1.
Aus dem Vieweg-Verlag
Mathematik für Schüler und Studenten
Max Leppmeier
Kugelpackungen
von Kepler bis heute.

2.
in englischer Sprache:
George G. Szpiro: Kepler´s Conjecture.
How some of the greatest minds in history
helped solve one of the oldest math
problems in the world.
John Wiley & Sons, Hoboken (NJ)

Das Resultat lautet:
Die dichteste Kugelpackung ist die so genannte
hexagonale, wie schon Kepler (1571-1630)
vermutete.

Es sind ca. 74,05% des Volumens, das durch keine
andere Packung übertroffen werden kann.
Der Beweis dieses Satzes ist erst mittels des
Einsatzes von Computern im Jahr 1998 von
Tom Hales von der Universität Michigan
gelungen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2891
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 13:20:   Beitrag drucken

Hi Ekiz,

Eng mit der Frage nach der dichtesten Kugelpackung
verbunden ist das Problem von Newton / Gregory;
diese Frage lautet:
Kann eine Kugel 13 andere, ihr gleichgroße Kugeln,
berühren?
Newton verneinte dies, Gregory bejahte es.
Die endgültige Entscheidung dahingehend, dass dies
nicht möglich ist, gelang erst ~ 250 Jahre später im
Jahr 1950.
Einer der Beweise stammt von dem damals an der
Uni Zürich wirkenden berühmten Mathematiker
Bartel Leendert van der Waerden (1903 – 1996).

Soviel summa summarum

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Coldstone2509 (Coldstone2509)
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Benutzername: Coldstone2509

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 15:31:   Beitrag drucken

Hallo Megamath;
erstmals vielen dank für eure mühe!
Wie kommst du auf die 74 %? Wie kann ich dies Zeigen?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2893
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 15:56:   Beitrag drucken

Hi Ekiz,

In den genannten Büchern ujnd wohl auch in Google findest Du Angaben zu den Packunngsdichten.
Die Herleitungen sind weitläufig.
Sie sind mir in den Einzelheiten nicht bekannt.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Martin243 (Martin243)
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Benutzername: Martin243

Nummer des Beitrags: 819
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 17:35:   Beitrag drucken

Hi, Ihr beiden!

@Megamath:
Ich habe wohl mit meiner letzten Lösung Keplers Idee nachvollzogen.

@CS2509:
Nimm meine letzte Lösung:
Ich sprach von ca. 1,414 * V / d3 Bällen, also Wurzel(2)*V/d3
Das Volumen eines Balls ist:

v = 4/3*p*r3 = 4/3*p*(d/2)3 = 1/6*p*d3

Also beträgt das Gesamtvolumen aller in den Karton hineinpassenden Bälle:
Wurzel(2)*V/d3 * v = Wurzel(2)*V/d3*1/6*p*d3
= Wurzel(2) / 6 * p * V

Der Faktor vor dem V ist aber:
Wurzel(2) / 6 * p = ca. 0,7405 = 74,05%


Hmmm, dann ging es ja tatsächlich nicht dichter. Und ich wollte heute weiterrechnen...

Danke Megamath!


MfG
Martin
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2894
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Oktober, 2003 - 19:16:   Beitrag drucken

Bravo Martin



Gratulation!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Coldstone2509 (Coldstone2509)
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Benutzername: Coldstone2509

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 31. Oktober, 2003 - 23:19:   Beitrag drucken

Hallo MARTIN243;

"Also beträgt das Gesamtvolumen aller in den Karton hineinpassenden Bälle:
Wurzel(2)*V/d3 * v = Wurzel(2)*V/d3*1/6*p*d3
= Wurzel(2) / 6 * p * V "


Was meinst du mit dem ersten ausdruck: Wurzel(2)*V/d3 * v und wozu steht das kleine v???
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Martin243 (Martin243)
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Nummer des Beitrags: 821
Registriert: 02-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 01. November, 2003 - 11:32:   Beitrag drucken

Das ist das Volumen eines Balls. Es steht in der Zeile davor, da ich das Kugelvolumen separat ausgerechnet und dann eingesetzt habe.


MfG
Martin

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