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dana (dana17)
Mitglied
Benutzername: dana17
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 31. Mai, 2003 - 09:20: | 
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Weiß jemand, wie ich OHNE Differentialrechnung zeigen kann, dass die Funktion f(x)=x^5-10x+5 auf den Intervallen (-unendlich, -2^1/4) und (2^1/4, unendlich) streng monoton wachsend und dazwischen streng monoton fallend ist?
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Tantor (Tantor)
Mitglied
Benutzername: Tantor
Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Oktober, 2003 - 21:34: |
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Naja , angenommen f sei stetige Funktion , man wähle zwei Punkte a und b. Man gehe davon aus, a<b dann folgt doch daraus.
f ist monoton stgd , wenn f(a)>f(b)
f ist monotom flld, wenn f(a)<f(b)
deswegen würde ich es da vielleicht mit f(x+1) und f(x-1) versuchen, bin mir da aber nciht so sicher. |
Carpediem (Carpediem)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Carpediem
Nummer des Beitrags: 104
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Oktober, 2003 - 11:34: |
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Das reicht leider nicht, Tantor. Denn die Funktionswerte zwischen f(x) und f(x+1) müssen ja auch die Monotonie einhalten.
Besser:
Sei a eine sehr kleine positive Zahl.
f(x+a) - f(x) = ((x+a)5-10(x+a)+5) - (x5-10x+5)
= x5+5x4a+...-10x-10a+5-x5+10x-5
= 5x4a-10a+...
= 5a(x4-2)+...
... steht für Terme, die mindestens a2 enthalten, und die daher für sehr kleine a, auf die wir uns beschränken, irrelevant sind im Vergleich zu den viel größeren Termen, die nur a enthalten.
f in x monoton steigend
f(x+a) - f(x) > 0
5a(x4-2) > 0
x4 - 2 > 0
x4 > 2
|x| > 21/4
x > 21/4 oder x < - 21/4
f in x monoton fallend
f(x+a) - f(x) < 0
5a(x4-2) < 0
x4 - 2 < 0
x4 < 2
|x| < 21/4
- 21/4 < x < 21/4
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