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Max.Likelihood.Schätzfunktion

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Mariejanna2 (Mariejanna2)
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Benutzername: Mariejanna2

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Oktober, 2003 - 23:22:   Beitrag drucken

hallo!
habe da das folgende problem:

Gegeben sind unabh.identisch R[0,v]-verteilte Zufallsvariablen X1,...Xn, v>0.

zu bestimmen: Max.Likelihood.Schätzfunktion für v.
mit ihr dann herzuleiten: erwartungstreue Schätzfkt.
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Oktober, 2003 - 22:07:   Beitrag drucken

Hi,
verrätst du noch was für eine Verteilung mit R[0,v] gemeint ist ?

sotux
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Mariejanna2 (Mariejanna2)
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Benutzername: Mariejanna2

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 09:49:   Beitrag drucken

damit ist die Rechteckverteilung gemeint, die Dichte der Verteilung ist also:
f= 1/v, falls x<= v
f= 0, sonst

Es wäre echt super, wenn du mir helfen könntest, denn im Prizip weiß ich zwar was ich machen muss, aber irgendwie nicht wie.

Habe gedacht, dass ich als Likelihood.fkt die gemeinsame Verteilungsfunktion F nehme, da darin auch die Realisierungen der Zufallsvariablen.

F(xi) = 0, xi<0
F(xi) = xi/v, 0<=xi<=v
F(xi) = 1, v<= xi

Da die Xi unabh. ist die gemeinsame Verteilungsfkt. ja gleich dem Produkt der einzelnen V.fkt....
..und dann das max. finden...aber wie denn genau?? irgendwie bin ich zu blöd zum Ausrechnen!!!

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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 17:43:   Beitrag drucken

Das Problem ist, dass diese Aufgabe etwas anders gelagert ist als die üblichen Aufgaben dieses Typs, das liegt an der Unstetigkeit der Dichte. Beachte übrigens, dass bei Max Lik nicht mit den Verteilungsfunktionen gerechnet wird, sondern mit den Dichten: Die Dichte der gemeinsamen Verteilung kriegst du wegen der Unabhängigkeit als Produkt der einzelnen Dichten, und in dem Fall ist die gemeinsame Dichte einfach
f(v)(x1,...,xn) = (1/v)^n für x1,...,xn<=v und 0 sonst.
Wegen der Unstetigkeit kannst du jetzt aber nicht wie üblich differenzieren, um das Maximum zu finden, sondern musst dir das globale Minimum von v suchen. Das ist aber einfach das Maximum der xi: vopt = Max(x1,...,xn) ist dein Max Lik Schätzer.
Da du die Verteilung der Xi hast solltest du auch in der Lage sein, die Verteilung des Maximums von n davon zu bestimmen (jetzt kannst du F wieder benutzen !)

sotux
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Mariejanna2 (Mariejanna2)
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Benutzername: Mariejanna2

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Oktober, 2003 - 21:19:   Beitrag drucken

ok, dass max(x1,...,xn) der max.likelihood.schätzer ist, ist soweit klar, dass dieser nicht erwartungstreu ist auch.
aber wie bastel ich mir daraus denn nun eine schätzfkt. für v, die erwartungtreu ist??? das hab ich irgendwie noch nicht verstanden...
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 91
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 09:43:   Beitrag drucken

Genau dafür brauchst du die Verteilung des Maximums: Wenn du die hast, kannst du dir die Erwartung deines Schätzers ausrechnen. Wenn die von v abweicht (wird wohl etwas unterschätzen) dann addierst du einfach die Differenz und kriegst einen neuen Schätzer max(xi)+d,
und der ist dann eben erwartungstreu.

sotux
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Mariejanna2 (Mariejanna2)
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Benutzername: Mariejanna2

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 17:48:   Beitrag drucken

hallo sotux!
halte mich jetzt ruhig für total blöd, aber der groschen ist irgendwie noch immer nicht gefallen... die verteilung des maximums der X1,...,Xn...ist doch nicht einfach [0,max(xi)]??!
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 92
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Oktober, 2003 - 20:30:   Beitrag drucken

Hallo Mariejanna,
ich halte dich keineswegs für blöd, bins aber selber manchmal ! Hätte die Aufgabe mal erst selbst rechnen sollen, bevor ich falsche Tipps gebe. Also nochmal (hoffentlich jetzt korrekt):
Verteilung F des Maximums M von x1,...,xn ist
F(m)=(m/v)^n, denn das Maximum ist genau dann kleiner gleich m wenn alle xi kleiner gleich m sind (0<=m<=v). Die Dichte f ist also f(m)=n*(1/v)^n*m^(n-1)
Als Erwartungswert kriege ich aus dem Integral von 0 bis v über f(m)*m*dm dann n/(n+1)*v raus, d.h. der ML Schätzer unterschätzt leicht ( je stärker umso kleiner n ist, das macht Sinn). Wenn du jetzt diesen FAKTOR (!!!!) korrigierst, hast du einen erwartungstreuen Schätzer gebaut: (n+1)/n*Maximum(x1,...,xn) tut es.

sotux

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